181121(가)를 풀어볼까?

난이도 : 2022학년도 수능의 선택과목 미적분의 모든 문항보다 어려움

일단 문제의 상황은 그림과 같습니다.

문제에서 제시된 조건을 해석해 보면, 1≤ x<e인 경우 f(x)≥ g(x)이고, x>e인 경우 f(x)≤ g(x)라는 의미입니다.

그래서 그래프를 위의 그림과 같이 그릴 수 있습니다.

h(t)는 직선 y=g(x)의 기울기의 최솟값인데요, 기울기가 최소가 되려면... g(x)에서 g(1)이 제일 큰 경우를 생각할 수 있습니다.

이렇게 g(1)=0인 경우를 생각할 필요가 있는데, 기울기가 최소가 되려면 x≥e에서 곡선 y=f(x)와 직선이 접해야 합니다. 거기서 기울기가 더 작아지면 조건에 어긋나게 되죠.

근데 t의 값에 상관없이, 점 (-1, 0)을 지나면서 곡선 y=f(x)에 접하는 직선이 있을까요?

그걸 알아보기 위해, 일단 곡선 y=f(x) 위의 점 (k, f(k))(k≥e)에서 곡선에 접하는 직선의 방정식을 구해 봅시다.

f'(x)=1/x이므로...

여기서, 이 직선이 점 (1, 0)을 지난다고 하고 x=1, y=0을 대입합시다.

이 식을 k에 대하여 미분하면...

에서 k=1일 때 0이 되고, 원래 t의 값은 k≥1일 때 t≥0이 됩니다.

그런데, k≥e이어야 주어진 곡선에 접선을 그을 수 있습니다. 그러므로 k≥e, 즉 t≥1/e인 경우 h(t)는 점 (1, 0)을 지나면서 곡선 y=f(x)에 접하는 직선의 기울기가 됩니다.

그렇다면 0<t<1/e인 경우에는 어떨까요?

그냥 두 점 (1, 0), (e, f(e))를 지나면 됩니다. 해당 직선의 기울기를 구하면...

문제에서 구해야 하는 값 중에 h'(1/2e)가 있는데, 0<1/2e<1/e이므로 여기서 바로 나옵니다.

이제 h'(a)를 구해야 합니다.

일단 위에서, 접선이 (1, 0)을 지날 때 성립하는 식을 가져옵시다.

이 식에서 k는 t의 값에 따라 변하는 값입니다. 1/k가 접선의 기울기가 되므로, h(t)=1/k가 됩니다. 이때 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

이 식을 t에 대하여 미분합시다.

t=a를 대입하면, 일단 h(a)=1/(e+2)라고 했으니 

그러므로 구하는 답은...

정답 : ④