170630(가)를 풀어보자
(나) 식을 미분하는 것으로 시작하겠습니다.
(가)에서 f(x)=f(-x)라고 했으니, 왠지 (나)를 미분한 식에 x=-a/2를 넣고 싶어집니다. 그렇게 하면...
여기서 a의 값을 구할 수 있습니다. a의 값의 범위를 고려하면... a의 값은...
이제 b, c의 값을 구해야 합니다.
그러기 위해, 일단 (가) 식의 양변을 미분합시다.(합성함수의 미분법을 숙지할 것!!!)
그리고 문제에서 f(x)를 정의역과 함께 제시해 주었기 때문에...
가 됩니다. 그리고 (나) 식을 미분한 것을 다시 한 번 미분해 봅시다.
두 식에 x=-a/2를 대입합시다. 그러면...
이렇게 하나의 식을 얻었습니다.
이번에는, f(x)를 적분해야 합니다.
f(x)의 한 부정적분을 F(x)라고 하면, F(0)=0인 경우...
와 같이 나옵니다. 여기서 정의역에 속하는 모든 실수 x에 대하여 F(x)=-F(-x)가 성립합니다.
또한, 조건 (나)에 의하여
이 성립하는데, 이번에도 두 식에 각각 x=-a/2를 대입합시다.
이제 b, c의 값을 구할 수 있습니다. 각각 -9/4, 5/2가 나옵니다.
그러므로 구하는 값은
따라서 p+q=83입니다.
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