6모 15번 필요충분에 대하여
옆동네에 쓴 글인데 여기에도 올립니다.
이 문제에 대하여, 다음 풀이가 있습니다.
a22는 어찌 됐든, a1에 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수일 것이다.
따라서 a1=0, a22=0이기 위해서는
n/(k+1) - (21-n)/k = 0 ⇔ k=(21-n)/(2n-21)
n이 자연수이므로, 가능한 k는 1, 3, 10이 있다.
―
이때 다음과 같은 질문을 받았습니다.
위 풀이는 'a22=0일 때 가능한 k의 값'을 구한 것인데,
문제에서 요구하는 건 "a22=0이 되는 k의 해집합이 무엇인가?"이다.
즉 "k=□일 때 a22=0이다"의 명제에서, 위 풀이는 필요조건만을 보인 것이지만 문제에서 요구하는 바는 필요충분조건이다.
그렇다면 k=1, 3, 10일 때 실제로 a22=0이 성립하는지(actually holds) 계산해 보아야 하는 것이 아니냐?
중요한 질문이라, 카페에도 공유하면 좋겠다 싶어 오랜만에 글을 올립니다.
심지어 질문자 분께서 말하시길, 많은 해설강의에서 이 부분을 생략하고 넘어간다고 하더군요.
―
일단은 질문자 분께서 생각하신 바가 맞습니다. actually holds 부분을 점검해야 하는 것이 맞습니다.
하지만 계산은 할 필요 없습니다.
우선 증명이 아닌 설명을 해 보겠습니다.
수열 {an}의 점화식에 따르면, 음수이면 더하고, 양수이면 뺍니다.
그러니까, 0을 향하는 경향성이 있다는 말입니다.
또한 이미 첫째항이 a1=0인데, 이는 그 경향성이 매우 안정돼 있다는 말입니다.
만약에 a22=0인 경우의 수가 있다면(n회 더하고, (21-n)회 뺐을 때 0이 되는, 그러한 자연수 n이 존재한다면)
그것이 수열 {an}이 바라는 바이고, 실제로 정확히 n회 더하고 (21-n)회 빼게 될 것입니다.
다음으로 설명이 아닌 증명을 해 보겠습니다.
a1에서 [1/(k+1)을 n번 더하고,] [1/k을 (21-n)번 뺀] 수가 0과 같다고 합시다.
그런데 만일, 실제로 점화식에 따라 a22를 계산해 봤더니 1/(k+1)을 n번이 아닌 수만큼 더했다면?
(1) 1/(k+1)을 n보다 많이 더했다면
a22는 최소 [1/k + 1/(k+1)]일 것입니다.
그렇다면 a21은 어떨까요? a21이 음수일 수는 없겠죠. 더해 봤자 1/(k+1)인데, [1/k + 1/(k+1)]은 너무 큽니다.
따라서 a21은 양수였을 것입니다. a22는 a21에서 1/k을 뺀 수이니, a21이 a22보다 더 크겠죠.
a20은요? a21보다도 더 크겠죠. a1은 a2보다 크고, a3보다 크고, ... 태초에 a1은 아주 큰 양수였던 겁니다.
그런데 조건에 따르면 a1=0이죠. 모순입니다.
(2) 1/(k+1)을 n보다 적게 더했다면
마찬가지로 태초에 a1은 아주 작은 음수였어야 합니다. 모순입니다.
만일 문제가 "a22=1/8이 되도록 하는 모든 자연수 k의 값의 합은?" 따위였거나, 혹은 a1=0이 아니었다면, 충분조건을 쉽게 답할 수 없었을 것입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
뭐 풀어야 하나요?
-
4합8 맞춰야하고 6모 21343이었습니다 일단 목표는 전과목 2 이상은 받는다....
-
전역 바로 직전 여행인데...
-
대충봐서 몰랐음
-
리트300제 0
리트 300제 좋나요? 1컷정도 나오는데 비문학이 뭔가 막막한 느낌입니다.
-
현돌해설 0
장점: 자세함 단점: 너무자세함 글이뚱뚱해서 나처럼국어3따리에 글읽기싫어하는사람에게는 좀힘이듦
-
실모 수학 낮2에서 3진동하는 허순데 그냥 이뻐서 샀습니다 원래 공부가 하기싫은데...
-
수능 있는 주 월요일 오후라도 가야겠지...?
-
나도 해야하나
-
일단 제방이 없어서 집에서 공부를 못해요 근데 중간중간 자야 집중이 되는 스타일이라...
-
바로 실모로 대응하러 간다
-
떠내려가겟네
-
심찬우 수강중인 고2임 지문에 표시 아무것도 안 하고 읽고 정답률도 꽤 ㄱㅊ은편인데...
-
고2-3? 고2??
-
이라고 오늘 우리 학교 국어쌤이 말하시던데 맞음? 독서 4지문을 20분컷 내는...
-
삐끼삐끼 3
첨엔 프세카 오리지널곡 peaky peaky 말하는줄 알앗슴.. 나만그랬나?
-
고2 정파입니다. 겨울방학에 올오카 완강하고 기출 풀면서 현재 고2 모고...
-
이해원 2
4규 s1에 커넥션까지 했는데 이해원 s2 가도 되나요 아님 s1가야 할까요?
-
아니 15, 22번급 맞춰도 시력이슈로 점수 나락 가는 거 개빡치네 Ex) 부등호...
-
ㅈㄱㄴ 미적사탐이고 백분위는 95 64 97 92 입니다
-
시즌1만 풀어봤는데 작년보다 훨배 쉽네... 나만 그렇게 느끼나...? 실력이...
-
진짜 행복하다 7
김준티 당첨됨 훈구티 당첨될때보다 더 기쁘네 캬
-
지금부터 해도 확통 1틀할거면 미적3틀이 더 낫나? 8
제목 그대로입니다..공통 ㅈ박았는데 확통은 모고마다 편차가 존나심하고 여태 본 확통...
-
대성하고 메가 다 있고 김준 골라서 풀커리 타고 있습니다 필수이론은 이미 완강했구요...
-
다시 오니까 8
귀신 같이 다시 수능 치고 싶네 무서운 커뮤니티야
-
(서울=뉴스1) 신웅수 기자 = '택배 쉬는 날’을 하루 앞둔 13일 서울의 한...
-
옵붕이 뒤질뻔 했는데 14
에스컬레이터에서 뒤로 넘어질 뻔했는데 오르비 하다가 뒤지는건 ㄹㅇ 개 짜쳐서 혼심의...
-
소름돋는 거 8
100일에서 벌써 딱 7일이 깎였음 그동안의 7일 동안 한 행태 * 13주 하면...
-
현역이라 시간 많지는 않음 수분감만 봐도 충분한가??
-
지금 들을 건 아니고 07이라 나중에 할 거 생각 중인데요, 이승효랑 현우진 커리...
-
곧 1학년 마치고 군대가서 개인공부하려고 어디갈지 고민중인데 해군 수송이 뜨는거같은데
-
혼코노 ㅇㅈ 7
안아줘 노래 까먹어서 제대로 부르지도 못했는데 점수가 이상하네요..
-
알바가기 싫다 2
그치만 거지인 나는 다른 방법이 없다 흑흑 오늘 이감 파이널2 입금해서 거금...
-
공부 질이 달라짐 ㄹㅇ 과학적으로 입증된거임. 영어지문에서 한번쯤은 소재로 등장해서...
-
ㅋㅋ
-
수특 레벨2에서도 막히는 문제가 나오네
-
빨리 T1 스킨 사고 싶은데...
-
‘지식(개념, 스킬 등)’도 중요한데 문제를 ‘해석’하는게 진짜 수학실력인듯 예시로...
-
현역 7모 성적표 17
그래도 고2 6모부터 지금까지 2번 빼고 에피는 다 되네
-
1차원 위의 점은 크기 비교가 가능하지만 2차원 위의 점은 특정한 기준을 세우지...
-
사회문화 4
지금 시작하면(개념아예모름) 수능때까지 열심히한다는 가정하에 2등급은 나올수있을까요..
-
럭키비키 0
반수 시작하고 다시첨으로 작수 풀어봤는데 생명 17번 문제 잘못읽었었네 ㅋㅋㅋㅋ...
-
9모 끝나고 시작해도 괜찮을까? 싶어서요 6모 미적 백분위 85입니다
-
수완 언매 96쪽 "그 형이 그렇게 마음에 들거든 용감하게 고백해 봐." 형아..?
-
개 더워
-
[논술]예은논술 제 2차 지원적합 논술 모의고사 모집! 0
마지막 최저의 지표가 될 9월 평가원 모의고사를 앞두고 예은T와 함께 하는 지원적합...
-
국어 사탐 외에 다 허수입니다 국어가 실모 기준으로 2등급이 안정적으로 나오고 있는데 인강 버릴까요? 6
인강 버리고 실모랑 피램만 풀까요? 국어 공부는 거의 안 했는데 어릴 때 독서량이...
-
ㅈㄱㄴ
-
"초등생한테 고2수학 가르쳐요" 의대 보내겠다고…전국이 들썩 5
[헤럴드경제=김성훈 기자] 초등학생부터 의대 입시를 준비하는 이른바 '초등...
그냥 (1/k+1)p -(1/k)q=0 이라고 쓰고 바로 답 구했는데
그저 그렇게 구하고 넘기면 안 된다는 게 요지입니다
유클리드 호제법쓰면 k+1하고 k 는 서로소니까 가능하지 않나요?
네... 그런 식으로든 이런 식으로든 충분조건을 확인해야 한다는 게 요지입니다
사실 서로소 아니게 줬으면 머리좀 깨나 써야했을텐데 아니여서 다행인것 같아요
이문제는 가볍게 틀어서 약수의 개수가 많은 짝수를 건너뛴 항을 물어봤으면 무연근인 케이스가 많이 나오게 되는데.. 21번 뛴걸 물어본건 평가원의 배려인듯
저는 k = 1,3,10 보고 하나라도 없으면 선지에 없어서 그냥 2번 고르고 넘어갔어요
저도 그래서 n과 21-n만 써서 계산한 풀이는 거부감이 듭니다
현장에선 경향성만을 고려해 풀면서도 뭔가 불명확하단 찝찝함을 남겼었는데 저런 증명이 가능했네요 감사합니다 많이 배웠어요
와 이거 진짜 의문이었는데
진짜 필요했던 내용이었는데 감사합니다