수특에서 배울거리를 정리해보자 수2 19일차(사차함수 그리는 팁)
아래는 오늘 문제인 수특 수2 68p Level2 4번, 70p Level3 1번입니다.
먼저 풀어보시고 아래 내용 봐주세요.
최고차항 계수가 양수인 사차함수가 극댓값 1개, 극솟값 2개 갖는다고 할게요.
두 극솟값 중에 누가 더 작은지 따져야할 때가 있는데, 직접 대입할 필요가 없습니다.
따지는 방법을 결론부터 말씀드릴게요.
x=1, 2, 3에서 극값을 갖는다면 x=2에서 극댓값을 갖고 x=1, 3에서 극솟값은 갖습니다. 1, 2, 3 간격이 같기 때문이죠.
x=1, 2, 4에서 극값을 갖는다면 x=2에서 극댓값을 갖고 x=4에서 극솟값이 x=1에서 극솟값 보다 작습니다. 1보다 4가 2에서 멀기 때문이죠.
이는 사차함수의 도함수인 삼차함수가 점대칭이기 때문입니다.
원리를 설명드릴게요.
사차함수 f(x)가 x=1, 2, 3에서 극값을 갖는다면 도함수인 삼차함수 f'(x)는 x=1, 2, 3를 해로 갖습니다.
f'(x)는 점대칭인데 해 1, 2, 3 이 같은 간격이면 (2, 0)에 대해 대칭이고, x=1~x=2에서 x축과의 넓이와 x=2~x=3에서 x축과의 넓이가 같겠죠?
도함수의 넓이는 원래함수의 함숫값 차를 나타내므로 사차함수의 두 극솟값이 같아집니다.
사차함수 f(x)가 x=1, 2, 4에서 극값을 갖는다면 도함수인 삼차함수 f'(x)는 x=1, 2, 4를 해로 갖습니다.
f'(x)는 점대칭인데 해가 1, 2, 4이면 x=1~x=2에서 x축과의 넓이보다 x=2~x=4에서 x축과의 넓이가 크겠죠?
도함수의 넓이는 원래함수의 함숫값 차를 나타내므로 사차함수는 x=4에서 극솟값이 더 작아집니다.
오늘 문제를 풀어볼게요.
68p Level2 4번부터 풀어봅시다.
f'(x)=0의 해가 x=-1, 0 ,4이니까 x=0에서 극댓값을 갖고요. x=-1보다 x=4가 x=0까지 거리가 멀죠?
따라서 x=4에서 더 작은 극솟값을 갖습니다.
따라서 최솟값은 작은 극솟값인 f(4)=a-128=-119이므로 a=9입니다.
y=k와 y=f(x) 교점이 3개가 되려면 k=f(0)=a=9(극댓값) 또는 k=f(-1)=6(큰 극솟값)입니다.
따라서 그 합은 p=15이고 a+p=9+15=24입니다.
다음으로 70p Level3 1번 풀어봅시다.
주어진 사차함수를 h(x)라 할게요
h'(x)=0의 해가 x=-5n, 0 2n이죠. 그러면 극대를 갖는 x=0까지의 거리를 생각해봤을 때 x=2n보다 x=-5n이 멀죠?
그래서 x=-5n에서의 극솟값이 더 작아집니다.
y=k와 y=h(x) 교점이 3개가 될때는 k=h(2n), k=h(0)이 가능합니다.
따라서 f(n)=h(0)=15/4n^4, g(n)=h(2n)=-17/4n^4 이되어 f(n)-g(n)=8n^4입니다.
따라서 8n^3을 n=1부터 n=3까지 더하면 800이 됩니다.
봐주셔서 감사하고요
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[수특 수1에서 배울거리를 정리해보자]
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항상 봐주셔서 감사해요
형님 질문 드려도 되나요
네 물론입니다
댓글 남겨주셔서 감사해요오
19일차 클리어!
사차함수 f(x)
f'(x)=0 이 되는 x값 중에서 멀리 떨어져 있으면
넓이도 크고
원함수 f(x)의 변화폭도 크다 ->최대 / 최소가 되는 극점 파악가능
훌륭하십니다!