[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
말걸고 싶다 0
아.
-
유명인사급: 학생들은 물론 선생님과 학부모들도 알고 있다 1군 아이돌급: 모르는...
-
언매 리턴할까 1
수능에서 35,36 두개틀렸고(풀다가 아니다싶어서 걍 넘김) 작년에 공부한게 너무...
-
왜 학력안깐거지
-
. 2
긍데 가끔씩 남녀 공학 깉은데에서 청일점 홍일점 이렇게 노는 애들 있던데...
-
사태의 심각성을 느끼고 있음 5월더프 전에 유전 기출을 끝내야겠음....
-
지금이 1934년이라고 가정
-
많이슬퍼하냐? 중대원이나 가족이나
-
공동 1등이면 둘다 1등으로나옴? 아님 2등으로 처리됨?
-
생명 3등급 5
직수 4등급이고 지금은 한 3등급 정도 실력인거같은데 6평대비 생명 모의고사...
-
가면 외모 다 중상이상임?
-
알바하러가는 나 2
✨Go✨
-
메가패스 0
대성패스가 있긴한데 국어 때문에 메가패스 사는 건 과할까요??근데 너무 비싸서 고민됨
-
물2 질문!! 7
님들 공부할 때 2차원 돌림힘은 어케 대비하심?? 딱 이번 수능 수준이 최대일까요?...
-
많이 걸어다니면 항상 몸이 땀에 찌듦
-
이거 차피 1년중 362일 동안 나오는 말임
-
과탐 선택한 그날~
-
... 4
-
5따리가 거의 다맞는데
-
전 지금알았음 맨날 실물통장 사진찍거나 스캔떠서 복사하거나 그랬는데
-
트랜스포머고 나발이고 Backpropagation부터 이해가 안가면 개추 ㅋㅋ
-
저녁엔 짠게 땡기네... 저메추
-
나 병신인거 아는사람 아무도 없을듯
-
안녕하세요. 오늘은 자작 문제 들고왔습니다. 단원은 '여러가지 운동+뉴턴 운동...
-
힘들다
-
오옹나힐순
-
얼마하나
-
어려워
-
대기 2주안에 안빠지면 그냥 불합격인건가요??
-
집 근처 여고 근처 지나가는데 모르는 여성 2분이 기운이 좋아보인다고...
-
나는 몇번 있는듯 그 때 거절하지 말걸 그랬음
-
너 나랑 일 하나 같이하자
-
남고는 동물의 왕국인데 저 두곳은 어떤지 궁금함
-
언매 개념 일주일 컷 가능 할까요?
-
록리 센세
-
나만 망친게 아니라 다행이야… 그냥 종로 탐구가 이상한거였어
-
난 딱 서성한 같음. 나 현역 지사대 노베였는데 3수해서 서성한옴. 올해 4수째인데...
-
고등학교 5학년이다
-
복습회독으로 승부보쟈
-
진짜 사설틱함이 뭔지 알겟다 ㅅㅍ 국영수는 내가 못했다고 쳐도 어떻게 쌍사 제시문도...
-
3합8인데..인문이에요 지금 정규반 걸면 대기 빠지기나할까요...ㅠㅠ 성적이...
-
왜 지금 갑자기 지끈거리고 아프지?
-
옛날에 예수회 신부님이랑 수사님들 사는 수도원 갔었는데 2
거기 예쁜 리트리버 살았는데 이름이 은총이였음 은총아 보고 싶다 잘 지내니
-
동생(중2): 반 애들이 너무 ㅅㅅ얘기를 많이 해 26
아직 중딩이니까 철이 없어서 그렇겠지라고 말해줬지만 대학교 와서도.. 그 얘기...
-
류현진도 선물한 '대전 명물'…성심당, 파리바게트·뚜레쥬르 제쳤다 5
대전을 대표하는 지역 빵집 '성심당'이 지난해 파리바게뜨·뚜레쥬르 등 대형...
-
https://orbi.kr/00067875895 저의 의견에 대한 여러분들의 생각이 궁금해요
-
레어 이쁘다 2
덕코탕진
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~