[박수칠] 역함수의 미분법 이해하기

수학영역 A형에 비해 B형에서는 다양한 미분법/적분법을 배우게 됩니다.

그 중에 살~짝 어렵고 헷갈리는 것이 '역함수의 미분법'인데요,

이 글을 통해 간단명료하게 설명해드리겠습니다.

1.일단 역함수의 미분법은

  (1) x=f(y) 꼴의 함수를 미분하기 위한 것입니다.

  (2) 그래서 역함수의 도함수를 구하는데 이용되죠.

2.역함수의 미분법에 관련된 공식은 다음 두 가지가 있습니다.

  각각의 증명은 다음과 같습니다.

  (1) 의 증명

  (2)의 증명

3.그럼 공식 2-(1)을 이용해서 도함수를 계산해봅시다.

    (1) 주어진 함수를 x=f(y)의 꼴로 표현하기 위해 양변을 n제곱합니다.

    (2) 양변을 y에 대해 미분합니다.

    (3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.

    (4) 따라서 주어진 함수의 도함수는 다음과 같습니다.

    (1) 역함수를 구하기 위해 x, y의 위치를 바꿉니다.

      y=f(x) 꼴로 정리하지 않아도 위 식은 이미 역함수입니다.

    (2) 양변을 y에 대해 미분합니다.

    (3) 를 이용하기 위해 양변을 역수로 바꿉니다.

    이 식이 바로 역함수의 도함수입니다.

    역함수 를 y=f(x)의 꼴로 표현하기 어렵기 때문에

    위의 도함수를 굳이 x에 대한 식으로 나타낼 필요는 없습니다. 또한

    역함수의 그래프 위의 점 (3, 1)에서의 미분계수를 구하고 싶으면

    이 도함수에 y=1을 대입하면 됩니다.

4.의 의미

  앞에서도 언급했다시피 함수 y=f(x)와 그 역함수가 y=g(x)가 모두 미분가능하면

  이 성립합니다. 이 식에서 (x, y)는 역함수 y=g(x) 위의 점을 의미합니다.

  만일 점 (a, b)가 역함수 y=g(x) 위의 한 점이라면 다음의 식이 성립하겠죠.

  이때, g'(a)는 역함수 y=g(x) 위의 점 (a, b)에서의 접선 기울기,

  f'(b)는 함수 y=f(x) 위의 점 (b, a)에서의 접선 기울기를 의미합니다.

  따라서 위 식은 두 접선의 기울기가 서로 역수관계임을 의미하겠네요.

  그럼 문제 하나 풀어봅시다.

  이 문제는 2010학년도 9월 모평 가형 27번 문제입니다.

  f'(a)와 g'(a)를 구하는 문제인데, 역함수의 도함수는 구할 필요가 없고

  다음과 같이 를 이용해서 역함수의 미분계수만 구하면 됩니다.

  (1) f'(a)의 계산

    함수 f(x)의 도함수 으로부터  

  (2) g'(a)의 계산

    g(a)=b라 하면 로부터 

  (3) 답 계산

    g(a)=b로부터 f(b)=a이므로

    이다. 이를 이용하면