칼럼) 수학 실력 자체를 기르는 문제 풀이 방식
*이전 칼럼들중 하나인 '눈풀물1'을 보고 오신 분들이라면, 이해가 보다 빠르실 겁니다.
또한, 개념 학습이 온전히 되어있음에도 불구하고, 평소 실력과 점수가 괴리가 있거나,
실력 증진에 정체기가 온 학생들을 위한 글이니, 최소한 3,4등급 이상의 학생들에게
제일 적합할 것으로 여겨집니다.
수학이나 과탐이나 머리 깨지게 생각을 해볼 때
사고력이나 논리력이 증진됩니다..!
그 머리 깨지게 생각을 해보는 것을 돕는 장치가 바로 눈풀이고,
머리가 깨지면 깨질수록 우리의 수학 점수는 안정화될 것입니다.
예전에 풀어보았던 사관학교 기출과 함께 (그냥 기출이면 여러분들이 심심하니까)
어떻게 문제를 풀어야 안정적이고, 실력을 늘릴 수 있는지 봐보도록 하죠.
구체적으로 문제를 실제로 풀거고, 그 후 일반적인 얘기를 나눠보겠습니다.
우선 문제와 풀이 사진 첨부해놓고 시작합니다..! (문제 간단히라도 읽고 와주세요!)
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1. '조건화'와 '초점화'
우리는 과연 발문과 문풀에 어떤 비율의 시간을 투자하는가에 대한
성찰로 이 글을 시작합니다. 어느정도 투자하시나요?
보통 20분이 걸리는 킬러문제를 풀 때 20초도 안 보시는 경우가 허다합니다...
하지만 어려운 문제일수록, 자신이 풀지 못하고 있는 문제일수록
발문에서 놓친 조건이 하나 있을 확률이 매우 높습니다.
저같은 경우에 10분 동안 문제를 푼다면 (20분 걸릴 문제가 있나?),
1분 가량은 발문을 여백의 공간에 '조건화'하여 써놓습니다.
이 조건화란,
발문의 '미분가능한 함수'라든가, '지름'이라든가
발문에 있지만, 놓치면 크리티컬한 문구를 (가), (나) 조건들과 함께
써놓는거죠. 별거 아닙니다. 사진과 같이 볼까요?
이렇게요..!
우선 f(x)가 삼차함수라는 것과 그 계수가 1인 것까지
식과 간단한 개형으로 표현을 해놓았고요.
그리고 문제에서 제시해준 g(x)를 적으며, 미리 해볼 수 있는 생각을 써놨습니다.
여기서는 f(x)/(x-1)을 기울기로 생각해봐야겠다고 쓴 걸 말하는 겁니다..!
그리고 사진에는 나와있지 않지만, 문제에서 물어보는게 g의 극솟값이므로
결국은 f를 알아야 구할 수 있죠?
우리는 f에 관한 식을 추적해야겠네요!
-구하고자 하는 것을 통한 '초점화'
발문에서 최대한 얻을 수 있는 조건을 빼먹지 않고 쓰는 것과,
나중에 갑자기 하기 어려운 생각(기울기로 보기)들을 사전에 해놓는 것.
과연 풀이에 쓸지 안 쓸지는 모르지만,
풀이 초기에 모든 가능성을 고려하며 문제를 째려보고 있다고 생각하시면 됩니다.
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2. 조건의 '해석'
그 다음으로 정말 문제에서 준 '조건'들을 '해석'하는 시간을 가져야 합니다.
등식이나 부등식으로 나와있는 조건의 의미를 한글이나 정제된 식으로
표현하는 작업을 말합니다.
등식이라면, 특정 함수들의 교점을 말해주는 게 아닌지,
그래프의 개형을 알려주기 위한 조건이 아닌지.
즉, 출제자가 이 조건을 왜 주었는가를 맞춰보는 단계라고 할 수 있습니다.
우선 (가)조건을 '해석'해봅시다.
g(x)가 연속이라는 것은 구간별 함수인 g(x)가 구간의 경계에서 함숫값이 같다는 것.
즉, x=0,2에서 g가 연속이라는 것을 통해 f의 함숫값을 알아내라는 것이죠.
그걸 이용하면, 'f(0)=0'이라는 것과 'f(2)는 0이 아니라는 것'까지 알 수 있군요.
주로 ~가 아니라는 조건은 케이스 분류 시에 많이 나옵니다.
한 케이스에서 ~가 맞다고 나오면, 그 케이스를 제거하라는 의미이기 때문이죠.
(나)조건도 마찬가지로 해보죠. 주어진 구간 내에서는 어차피 g(x)가 미분 가능하군요.
따라서 미분 가능하지 않은 점은 구간의 경계일거고, 0과 2중 하나네요..!
그럼 a=0일 때와 a=2일 때로 나눠야겠네요.
엥 나눠? ---> 케이스 분류; 아까 ~가 아니라는 조건보고 예측했던 내용인데..?
이렇게 문제를 많이 풀어봤고, 문제에서 얻은 교훈이 유형화되어 있다면,
아주 단순해보이는 어투만으로도 문제가 어떤 방향으로 진행될 것이라는 것을
예측할 수 있습니다.
그래서 a=0일 때 식을 정리하면, 'f(2)=0'이 나오는데
예측대로 (가)의 조건과 충돌하네요!
한편, a=2일 때의 식을 정리하면, 'f'(0)=0'이라는 식이 하나 더 나오게 됩니다.
그리고 보시면 알겠지만, '초점화' 단계에서 f를 초점화
즉, f에 관한 식을 구하고자 했으므로
f에 대한 식은 모두 박스처리 한 것을 볼 수 있습니다.
내가 정말 답에 필요한 게 뭔지 눈에 띄게 해놓는 거죠.
최대한 실수를 줄이기 위해 아주 발악을 하고 있다고 보시면 됩니다...!
단순히 g에 관한 식을 f로 고친 겁니다. 왜?
우린 f를 초점화했으니까..!
이런 초점화 과정은 특히 합성함수의 미분 킬러 문제에 가면 더욱 중요하니
눈에 익혀두도록 합시다..!
f(0)=0, f'(0)=0 두 조건을 합쳐서 f(x)=x^2(x-p)로 구조화했죠? (극솟값 p와 무관...겹쳤네요)
그리고 역시나 k를 g에 대입하려면, 구간별 함수인 g의 특성상
k의 범위를 알아야하므로, 범위를 나눴습니다.
어차피 단순 계산이니까요, 계산하면, 위의 경우는 모순이 나와서
밑의 경우에 의해 k=4임을 알 수 있네요..!
아이고야, f(x)=x^2(x-4)라고 f가 다 나와버렸네요.
이제 초점화의 역할은 끝이 났고,
다시 원래 진짜 정답인 g로 시야를 넓힙시다.
g의 극소를 알기 위해서는 결국 g를 그려야겠네요!
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3. 정답 직전의 '백스텝'
가장 실수가 많이 등장하는 곳은 정답이 나오기 직전의 순간입니다.
이때 지금까지 한 것들중 쓰지 않은 조건은 없는지 숨고르는 시간이 중요합니다.
이때 활용하는 것이 '박스'입니다.
문제를 풀면서 내가 쳐놓은 '박스'를 보면, 쓴 조건이나 식이 있는지 없는지
판단이 빠르겠죠? 그래서 조건과 도출되어 나온 식을 '박스'로 명확히 표시하시길 바라요..!
그리고, g(x)를 그리려고 하니, f(x)/(x-1)이라는 부담스러운 분수로 표현된 함수가
걸리적거리네요...
이때 프로 '백스텝러'는 문풀의 전반부부터 한 번 찬찬히 관찰하며,
좀 더 쉬운 방법이 없나하고 잠깐 고민하는데, 그때 제 눈에는 '조건화' 때
'f(x)/(x-1)을 기울기로 볼 수 있다'고 써뒀던 것이 들어옵니다.
'아하! 굳이 미분할 필요없이 f(x)를 그리고 (1,0)과 (x,f(x))의 기울기로
g(x)를 해석하면 되겠구나....!' 라는 생각을 하게 되는 것이죠...
빗금쳐 놓은 게 g(x)의 그림입니다.
결국 우리는 분수로 표현된 함수를 미분 안하고도 g의 극소가 x=2일 때임을 알게 되는
쾌거(?)를 이루게 됩니다.
그러면 극솟값은 x=2를 대입한 f(2) 즉, -8이라는 결과를 얻어내고 답은 제곱인 64군요..!
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4. 풀린 문제의 '교훈화'
지금까지 문제를 풀어온 과정이 과연 나중에도 기억날까요?
워낙 인상 깊은 문제거나 본인이 하루에 1문제만 풀지 않는 이상은
희박할 것입니다.....
그렇기 때문에 이 문제를 푼 효과를 얻기가 쉽지 않은거에요.
어차피 기억의 저편으로 사라질 문제인걸요...
이때 여러분이 활용하셔야 할것이 바로 '교훈화'입니다.
문제를 짤막하게 요약해놓고, 앞으로 다른 문제에서 쓰일 여지가 있는 것을
필기해두는거죠.
이 문제의 경우 저같은 경우에는 '케이스분류'나 '~가 0이 아니다' 같은 것들은
이미 다른 문제에서 교훈화가 되어있고, 이 문제는 그걸 적용한 셈이기에
그런 내용들은 교훈화되지 않고, 맨 마지막에 계산을 좀 더 덜어줬던
'함수를 기울기로 보는 관점'을 교훈화해뒀군요.
그렇다는 것은 이 문제는 확실하게 제 수학 점수에 기여를 하게 되는 것입니다.
'혹시나 분수로 표현된 함수에서 기울기로 보게 해준 역할'.
명확하죠?
문제를 허투로 낭비하지 않게 된 것이라는 말입니다...
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이렇게 깔끔하게 풀 수 있도록 연습하시길 바랍니다.
깔끔하게 푼다는 것은 단순히 글씨가 예쁜 것이 아닙니다.
문제가 어떻게 진행될지 예측하고 실제로 그 예측이
들어맞아야만이 저렇게 깔끔하게 푸는게 가능합니다.
발문과 조건을 허투루 읽지 않고
머리깨지게 눈으로 최대한 많이 정보를 뽑아내는 것.
즉, 문풀 시에 눈풀의 비율이 높아짐에 따라
여러분의 수학 실력도 비례해 올라갈 것이라고
감히 말씀드리겠습니다.
사고력 증진을 통해 수학 실력 자체를 기르는 법에 대해
오늘 써보았습니다..! 아마 다음 수학 칼럼의 내용은
시간 단축이 아닐까 싶은데,
댓글로 추천 내용 남겨주신다면 반영해서 쓰도록 하겠습니다..!
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못 참고 오늘 올려버렷다 ㅂㄷㅂㄷ
가즈앙
물2 필수과목 가즈아
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
이 혼란한 메타를 정화해주는 칼럼이네요![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/027.png)
감히 정화기를 자처해봅니다![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
"교훈화" 너무 공감합니다 칼럼 너무 잘 보고 있어요!![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/004.gif)
교훈화가 정말 중요하죠 ㅜㅜ 간단하게라도 달아놓는 걸 습관화 해야하는데 저도 귀찮아 햇엇다는 ㅜㅜ올해 한 팔로우중 가장 잘한듯
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/023.png)
‘충전 완료’이거 인정 저 이거 국어 칼럼 읽고 수능 봤으면 문학 하나도 안 틀렸을 듯
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/011.png)
잘 보셧으면서,,님 칼럼 보고 물리 수학 문풀 실천중입니닷
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/020.png)
우진쌤 책들 보면서 좋았던 점이바로 그 코멘트 짧게 적혀있는 것!!
그 교훈화 할만한 것들을 적어 주시죠...
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi/037.png)
님이 짱이에요좋은 칼럼이네요ㅎㅎ
그리고 다음 칼럼 내용 관련해서는 시간 단축에 꽤나 큰 역할을 하는게 계산 속도와 정확성이라고 생각하는 사람이라 이 부분도 언급하면 어떨까요
계산 자체의 신속에 대한 내용도 써볼게요..! 감사합니다 ㅎㅎ
스크랩 후 회독 드갑니다 ㅜㅜ 감사합니다
그냥 책으로 드릴까요..? ㅋㅋㅋ 애독자 감사합니다ㅜㅜ
헉 말씀만으로도 너무 감사하죠 ㅜㅜ
진짜 이분 칼럼 다 좋음
새상에 칼럼을 다 읽어주셧군요..! 좋다고도 해주셔서 감사합니다ㅜㅜ
으아 선생님들이 보셨을 때 어떨까 굉장히 걱정 많았는데 다행이네요..! 다항함수 상수함수 칼럼 잘 봣습니다…!
만약 강사하시면 전과목 다 1타 하실거같아요ㅎㅎ 이번에도 좋은칼럼 감사합니다!
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/040.png)
잘하시는 분들이 많아요..! ㅠㅠ캬 이대로 하면되겠다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/015.gif)
믿으세요 믿으세요….!!!저도 문제를 많이 풀다 보면서 알게 된게 조금이라도 풀이가 긴 문제는 중간 과정도 중요하지만 마지막 답을 올바르게 구하는 것이 제일 중요하다고 생각됩니다. 좋은 글 감사합니다!
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi/035.png)
마지막까지 풀집중하기가 쉽지 않져선좋아요 후감상
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/015.gif)
감상하셧나요?![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/009.gif)
아;;굿다노
이거 수2 인가요 미적분인가요?
분수식 미분 나오는거봐선 미적분같은데 함수는 수2네여
그거 하나빼곤 수2나 진배없는 미적분입니당
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/orcon/005.png)
천재 아닌 사람에게 천재라하면.. 허허모 여고 때문에 오르비도 혼란스러운데 휩쓸리지 않고 수험생들에게 정말 도움되는 글 쓰시는 능력자 분 ㅎㅎ 앞으로도 좋은 칼럼 부탁드립니다!
오르비는 ‘최상위권 입시, 학습 커뮤니티’입니다 ㅎㅎ
눈풀이 진짜 레전드..암묵지를 명시지로, 명시지를 다시 암묵지로 이끄는 최고의 방법
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/011.png)
혹시 저번에 암묵지 명시지 댓 달아주셧던 분인가요?? 이해해주는 사람을 만나서 전 기쁩니다ㅠㅠ글 정말 잘 쓰시네요....글만 읽었는데도 말씀하시는 의도가 다 들어오네요..감사합니다 항상 도움되는 칼럼들ㅠㅠ
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/dangi_animated/026.gif)
말하는 느낌을 주려고 쓴 게 맞는데 전달이 됐다니 기뻐요!!"등급컷 올리는 주범"
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/016.gif)
저 하나 따위가 감히..신기하게 이 칼럼대로 푸니까 171130 문제도 깔끔하게 풀리네요...!!
역시 어려운 문제라도 조건을 곱씹어보면서 차근차근 접근하는 게 참 중요한것같아요!
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/rabong/018.png)
이른 시간부터 제 칼럼에 힘을 실어주셔서 감사합니다..!!! 올리신 글 다 읽어봣어요 ㅎㅎ 특히 면접 이야기는 도움 많이 됐고 재미도 잇엇어요! ㅋㅋ헤헤 부족한 글 재미있게 봐 주셨다니 제가 더 감사합니다용 ^.^
나도 내년에 칼럼쓴다 진짜…
늘 감사합니다!
ㄹㅇ 윗댓 동감..올해 한 팔로우 중 가장 잘 한 듯..
앞으로도 그 생각 변치 않게 노력할게요 ㅎㅎ
a=0 일때 a=2일때 케이스 분류할때 f'(2)=f'(2)-f(2) 라는 식을 구할때 f(x)/x-1 을 몫의 미분법으로 구한건가요?
넹
요즘 수학 현강을 들으면서 선생님들께서 강조하시는 것들이 거의 대부분 들어가 있네요. 정말 좋은 칼럼 감사합니다..!! :)
선생니들 말씀과 같다니 영광이네요 :) 곱씹어보며 말의 의미를 잘 생각하며 공부하신다면 분명 좋은 성적이 나오실 겁니다!!
문제 전체를 하나도 손 안대고 풀라는 말씀이신가요?
가능하면 좋은데 계산 영역에서 암산이 너무 힘드시면 펜 대셔야죠. 암산까지 해내면 굿입니다. 암산이 가능하려면 그만큼 식이 간단해야 하므로 식을 잘 짜셨다는 걸 검증하려면 암산의 가능 여부를 보면 되거든요
감사합니다 ㅠㅠ
좋은 칼럼 잘 읽고 갑니다.
진짜 도움되는 글이네요 ㄱㅅㄱㅅ
수학문제풀때 발문을 가장 집중해서 읽고 힌트들 다 뽑아놓는대 제 방법이 틀리지않았네요!ㅠㅠㅠ
과탐도 마찬가지인거 같아요
백호쌤이 생명의 궁극은 눈으로도 풀 수 있을정도라고 했는데
많이 깨닫고 갑니다...
저도 요즘에 나도 모르게 요러한 방법으로 풀어가고
있었는데 이 글을보고 비교해보면서 확신을 얻을 수 있었네요
안녕하세요~ 독존쌤의 명품 칼럼을 읽어가며 공부법을 적립해가고 있는 아기 고등학생입니다! (항상 감사합니다.) 수학 공부에서 궁금한 것이 있습니다. 조건화와 초점화는 모든 문제에서 이루어지는 생각의 회로인가요?
네 !! 맞아요 거의 모든 문제에서 쓰이다시피 하니 알아두시면 도움될 거에요
감사합니다! 수험생활에 있어서 혼자 공부하다 보니 막막한 상황을 자주 맞이하는데 그럴 때마다 독존님의 칼럼을 찾아오면 답이 나오네요! Ps. 요즘 코로나가 재유행인 것 같습니다. 건강 조심하시고 행복하세요!!
아 올려주신 사관학교 문제도 처음부터 끝까지 눈풀하라는줄알고 눈으로만 풀다가
(다)조건 에서 몫의미분법 머릿속으로하다가 힘들어서 포기했네요.. 거의 다 풀었는데 ㅜㅜ
맞았지만 사고회로없이 무의식적으로 푼 문제들도 교훈화를 해야 할까요?
(나)조건 해석할 때, a=0의 케이스에서 f`(2)=f`(2)-f(2)가 어떻게 나온 건가요?
마찬가지로 f`(0)=f`(0)-f(0)도 어떻게 나온 건지 ,,,
(다)조건 해석할 때 (k<0, k>2)의 케이스에서 g`(k)=(k-1)f`(k)-f(k)/(f-1)^2이라는 식이 어떻게 나왔는지도 모르겠어요 ,,
혹시 이거 미적에서 배우는 내용인가요?
아 댓글 좀 내릴 땐 안 보였는데 가장 밑으로 내려와서 살짝 올려보니 보이네요. 미적분 내용이라 못 푼 거니 나름 안심이에요.
그건 그거고 킬러같은 조건 다양한 애들 풀 때 머릿속에서 어떤 식으로 갈지 생각해보고 이렇게 해볼까 하면 바로 써보는 타입이였는데 그 때마다 조건들 보느라 계속 눈을 왔다갔다하고 조건들 보면서 떠올린 생각들 까먹지 않게 계속 기억하려고 하느라 문제를 풀 때마다 난잡했는데, 간결히 적어두는 방법이 정석인 것 같네요. 항상 궁금했던 부분 칼럼으로 올려주셔서 감사합니다
1.선생님 제가 위 칼럼에서는 ‘눈으로 풀면서 최대한 정보를 뽑아낸 후 조건 등을 간결하게 써놓는다’ 이런식으로 이해했습니다.
그런데 전에 선생님이 쓰신 댓글에서
“수학을 눈으로 푼다는 건, 문제를 읽고 풀이과정이 머릿속에 잡혀서 계산만 펜으로 하면 되는 그 경지 말하는 거에요..! 발문으로 해설이 탁탁 보이게요”
라는 댓글을 봤습니다.
근데 이 과정에서 살짝 모순적이라고 생각돼서요..
눈풀이라는거에 대해 제가 잘 이해를 못한거같은데 눈풀에 대해 정확히 설명해주실 수 있나요?(물리랑 사관학교 문제로 예시들어주신걸 하나도 배운적이 없어서 이해가 어려워요ㅠㅠ)
2.그리고 위 칼럼이 난이도의 관계없이 모든 수학문제에 적용되는지 아니면 킬러문제에믄 적용되는지 궁금하고 교훈화와 생각의 회로 개설이 같은과정인지 궁금합니다.
3.킬러문제든 쉬운문제들 무조건 눈풀(계산만 펜으로)로 푸는건 어떤가요?(이러면 더 머리깨지면서 생각할수 있을것같아서요)
무조건 눈풀보다 위 칼럼의 풀이방식처럼 푸는 이유가 있을까요??
4.위 칼럼의 문제풀이방식이 수학기출분석의 방법과 동일한건가요?
5.생각의 회로 개설은 진짜로 난이도 관계없이(ex.쎈b…) 모든문제마다 하나의 깨달음을 얻어야하나요? 만약 그렇다면 얻을따까지 끙끙대야할까요?
6.실전에서도 눈풀과 위 풀이방식은 적용되는건가요?
7. 문제집에 있는 문제or고1,고2 국어 수학 기출도 생각의 회로를 개설해야겠죠?
8.선생님 그리고 이거와는 별개지만 현역 때 수면시간이 어느정도셨나요?
지속적으로 물어보는거같아서 죄송합니다. 현재 중학생인데 고등학교 들어가기전까지 효율적인 공부법으로 공부하고싶어서 계속 물어보고있는데 약간 죄책감 드넨요 ㅠㅠ 바쁘시겠지만 답변부탁드려요…
이것과는 별개로 선생님이 의대에 가시고 칼럼을 쓰시면서 남을 도와주시는 것처럼 저도 의사가 되어서 남들을 도와주고 싶습니다. 선생님 덕분에 처음으로 꿈을 꾸게됐습니다 감사합니다.
선생님 진짜 죄송하지만 톡으로 답변 부탁드려요 ㅠ