[학습의 기준] 수학을 어렵지 않게 공부하는 방법
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[Standard Mathematics]
무엇이 수학을 어렵게 만드는가?
수학영역의 새로운 교과서 「수학의 기준」의 백경린(Dost)입니다.
이번 글에서는 수학을 어떻게 공부해야 하는지에 대한 나름의 방법론을 제시해 보고자 합니다.
사람마다 관심사가 다르고 대상을 이해하는 방식에도 차이가 있듯 수학을 공부하는 방식에도 저마다 차이가 있겠지만, 보다 효율적인 학습을 위해서는 무엇이 수학을 어렵게 만들고 있는지부터 점검해 볼 필요가 있다고 보여 집니다.
‘개념’, 넌 대체 무엇에 쓰는 물건인고?
수학을 배우는 학생들이 어려움을 느끼는 가장 큰 이유 중의 하나는 도무지 자신이 무엇을 배우고 무엇을 풀고 있는 것인지 전체적인 그림이나 방향을 알지 못한다는 것입니다.
예를 들어, 미분계수(도함수)의 정의나 성질을 배우고 그것을 이용하여 기계적인 계산을 할 줄 아는 학생은 많지만, 정작 미분이 무엇을 해결하기 위한 개념이고 그것이 얼마나 효과적인 방법인지를 이해하는 학생은 매우 드뭅니다.
이것은 마치‘미로 속에서 눈앞에 놓인 상황만 보고 나아갈 방향을 결정하는 것’과 ‘미로의 구조가 어떤 식으로 만들어졌는지를 이해하고서 나아가는 것’의 차이라고도 할 수 있습니다.
똑같은 미로를 탐구한다 할지라도 앞의 경우가 어려움을 훨씬 크게 느끼리라는 것은 불 보듯 뻔한 일입니다.
그러므로 수학에 대한 심리적인 난이도를 낮추고 막연한 두려움을 없애기 위해서는 각 단원에서 배우는 개념들이 어떠한 필요에 의해서 만들어졌고, 주어진 상황을 어떠한 방향으로 해결해 나가려는 것인지를 반드시 이해해 볼 필요가 있습니다.
난 머리가 받쳐주지 않아서...
흔히들 수학을 잘 하려면 머리가 좋아야 한다는 얘기를 많이 합니다. 그러나 이것은 결코 수능에 필요한 수학을 두고 하는 얘기가 아닙니다.
수학을 필요 이상으로 어렵게 느끼게 만드는 또 하나의 원인은 문제를 푸는 데 개념을 이용하기보다는 자신의 머리를 더 많이 사용하기 때문입니다.
바둑 용어 중에‘정석’이라는 표현이 있습니다. 정석이란 나도 악수(안 좋은 수)를 두지 않고 상대방도 악수를 두지 않았을 때 나올 수 있는 가장 최선의 방법들을 모아 놓은 것입니다.
바둑에서는 기본 정석만 이해(그것이 왜 정석이 될 수밖에 없는지를)해도 상당한 수준의 실력을 쌓을 수 있다고 합니다.
수학에서는 이러한 정석에 해당하는 것이 바로‘개념’입니다.
즉, 수학적인 문제를 해결할 때는 특별한 요령이나 기발한 아이디어보다 개념을 이용하는 것이 훨씬 효과적이고 검증된 방법이라는 뜻입니다.
따라서 자신의 머리가 수학자들보다 앞선다고 생각하지 않는 이상은(^) 철저하게‘그것이 왜 개념이 될 수밖에 없는지’를 이해하기만 하면 됩니다.
개념과 결론의 차이
그런데 여기서 반드시 짚고 넘어가야 할 사항이 있습니다. 단순히 정리된 결과를 이해한 것을 개념을 이해한 것이라고 착각해서는 안 된다는 것입니다.
가령, 다항식 P(x)=x3+2x2-1을 x-2로 나눈 나머지를 구하라는 문제를 살펴봅시다.
나머지 정리를 배운 학생이라면 당연히‘P(x)를 x-2로 직접 나누지 않고’ P(2)의 값을 통해 쉽게 나머지를 구할 것입니다.
하지만 나머지 정리의 결과만을 이해하고 있는 학생들은 주어진 상황이 조금만 달라져도 위와 같이 효율적인 방법을 -바뀐 상황에 특화된 또 다른 정리를 배우지 않는 이상- 전혀 사용하지 못합니다.
나머지 정리라는 결과는 사실, 항등식에서 미정계수를 결정하는 수학의 기본 논리로부터 나온 부산물일 뿐인데, 대게 부산물은 비교적 자주 다뤄지는 상황에서만 유용한 결과이기 때문입니다.
본래 항등식에서 미정계수를 결정하는 기본 논리란 매우 간단합니다.
'만약, ax+b=0이 x에 대한 항등식이면 x에 어떤 값을 대입해도 주어진 식이 성립해야
하므로 x=0 또는 x=1과 같이‘x에 적절한 값을 대입하여’계수 a, b를 결정한다'
는 것이지요.
즉, 등식 x3+2x2-1=(x-2)Q(x)+R은 x에 대한 항등식이므로 x=2를 대입하여
23+2‧22-1=R
로 나머지를 쉽게 찾아낼 수 있었던 것입니다.
이러한 항등식에서의 논리를 이해하고 있는 학생이라면, 아래와 같은 문제를 만났을 때도 굳이 조건식을 도함수의 정의에 끼워 맞추는 식의 기발한(?) 발상을 떠올리지 않더라도 문제의 상황을 어떻게 해결해야 하는지가 한 눈에 보일 것입니다.
다항함수 f(x)가 모든 실수 x, y에 대하여
f(x+y)=f(x)+f(y)
를 만족할 때, f(x)를 구하시오. (단, f(1)=2)
우선, 고교 과정에서는 변수가 2개 이상인 함수에 대해 다루지 않으므로, 변수를 하나로 통일시킬
수 있는 적절한 값을 대입해 봅시다.
즉, 주어진 조건식은 y=x를 대입해도 성립해야 하므로
f(2x)=2f(x)
이때, 다항함수 f(x)를 n차 함수, 최고차항의 계수를 a(단, a≠0)라고 하면, 좌변과 우변의 최고차항이 일치해야 하므로
a(2x)n=2‧axn
∴ n=1
따라서 f(x)=ax+b로 놓을 수 있고, 다시 주어진 조건식에 x=y=0을 대입하여 구한 f(0)=0과 또 다른 조건 f(1)=2을 이용하면, a=2, b=0임을 간단히 확인할 수 있습니다.
수학과 산수의 차이
기본적으로 산수가 빠른 계산을 통해 원하는 결과를 얻어내는 방법이라면, 수학은 계산이 필요한 상황인지 아닌지를 판단한 후에 결론에 다가가는 방법이라고 할 수 있습니다.
물론 이것을 판단하는 기준은 다름 아닌‘개념’입니다.
바로 앞의 문제를‘고교 과정에서는 변수가 2개 이상인 함수의 개념을 다루지 않는다’는 이해 없이 무작정 2개의 변수를 계산하려고 달려들었다면, 문제를 처음 접한 학생들은 상당한 어려움에 부딪쳤을 것입니다.
결국, 문제를 풀어 가는 논리를 계속 진행시킬 것인지 멈출 것인지를 결정하는 것 또한 개념이라는 얘기입니다.
그런데 이러한 어려움을 개념에 대한 이해로 극복하지 않고, 새로운 유형으로 정리하거나 풀이 방식을 외워서 넘어가려고 하는 것은 수학을 어렵게 만드는 또 하나의 원인을 제공합니다.
(머리가 과도하게 좋은 분들에겐 예외일 수 있음..)
지금까지 살펴본 몇 가지 원인들만 제거해 나간다면, (적어도 수능에서는) 수학이 생각보다 어렵지 않은 과목임을 이해할 수 있을 것입니다.
또한, 개념이라는 검증된 논리를 통해 자신의 비합리적이고 명료하지 않은 생각들을 정리할 수 있다면, 수학은 논리적인 사고력을 키우는데 있어서 가장 확실한 도구가 되어 줄 것입니다.
~ 끝까지 읽어주셔서 감사합니다 ~
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참 좋았는데
대박..
수능 대박나세요^^
대단하네요..
그런데 여태까지 약간의 마구잡이식으로 학교에서 배워왔다면 한번더 정리를 할때는 어떤방법으로 얼마나 오래동안 개념정리를 해야할까요 ?
시간은 개인의 노력과 열정에 달린 문제이겠죠^^
하지만 위와 같은 방식으로 정확한 개념을 잡아가신다면 그리 많은 시간은 걸리지 않을 것입니다!
(정말로 개념이라고 할 만한 것들을 모아 보면 그리 많지 않거든요)
이해는 되는데
제가 실생활에 받아들이기에는 너무 두루뭉실한 듯 해요
예를들어 저는 학교 시험대비를 했을 때 교과서에서 학습목표와 주요개념을 설명하기전에 왜 그렇게 되는지 증명하는 부분도 읽으면서 공부를 했는데 이런걸 말씀하시는 건가요 ?
맞습니다. 그런 공부의 필요성을 본인이 스스로 느끼고 하고 있다면 제대로 방향을 잡으신 겁니다.
개념을 이루고 있는 논리가 무엇인지를 분석해 가다 보면, 전혀 다른 개념들 간의 논리가 다르지 않음을 이해할 수 있고, 이것은 최소한의 논리로 문제를 풀어 갈 수 있는 실마리를 제공해 줍니다.
그런데, 교과서만 보고 혼자서 그러한 부분을 읽어 나가고 있다면, 수학적 재능이 참으로 뛰어난 듯 합니다^^
아..ㅜㅜ
사탕발린말씀인지는 모르겠지만 정말 기분이 좋네요
이렇게 공부하니까 다른 애들은 문제 몇장씩 풀어나가는데 나만 이렇게 시간낭비하다가 망하는거 아닌가 했거든요..
혹시 여유가 되신다면 개인적으로 필요할때 쪽지드려도 될까요?
물론이지요^^
다만, 본인의 이해를 문제를 통해 확인하는 과정도 게을리 하진 마세요. 시험에는 시간이란 변수도 항상 포함되니까요~
그런데요.. 예시로 들어주신문제와 같은상황에서
처음에 저렇게 풀었을지라도 다른문제들에서 더 빠른(?) 나에게 정확한(?) 등의 방법을 찾아가는게 공부아닐까요?? 그러면서 도함수의 정의를 이용해서 푸는방법을 알게된다던지요
(글에서도 언급했듯이) 그런 방식은 머리의 용량이 과하게 좋은 분들의 경우에 한해 가능한 방법이라고 판단됩니다.
저는 그것을 '수학을 어렵게 공부하는 방법'이라고 부릅니다.
(보통의 학생들이 따라가기엔 쉽지 않는 방법이라는 얘기죠.)
조건식의 형태가 비슷해 보일지라도 묻고 있는 값에 따라 전혀 다른 것을 묻는 문제가 될 수도 있습니다. (주어진 조건에서 도함수의 정의를 떠올리는 것이 얼마나 논리적인 필연성이 있는지 잘 생각해 보세요)
단순히 빠른 풀이와 그런 방법을 늘려가는 것에 집착하신다면, 사실 수학이 지향하는 방향과는 조금 다른 공부를 하고 계신 겁니다.
수학의 기본적인 방향은 문제의 상황이 바뀔 때마다 새로운 해결 방법을 찾아내는 것이 아니라, 문제의 상황이 어떻게 바뀌더라도 동일하게 적용할 수 있는 가장 효율적인 개념을 만들자는 것이기 때문입니다.
사과 한 개 + 사과 한 개 = 사과 두 개
양 한마리 + 양 한 마리 = 양 두 마리
나무 한 그루 + 나무 한그루 = 나무 두 그루
...
1 + 1 = 2
문제의 상황이 어떻게 바뀌더라도 동일하게 적용할 수 있는게 효율적인 개념이라 했는데 그 말대로라면 도함수를 활용한 풀이법이 개념에 입각한 풀이가 아닌가요? y대신x를 대입해서 푸는 방법은 다항함수라는 조건이 있을 때만 가능하지만 도함수를 이용한 방법은 그렇지 않은 경우라도 가능하니까요 그리고 보통 저런문제에서 특히 이과에서는 다항함수라는 조건이 안나오는 경우가 대부분이죠
시비걸려는건 아니고 제 생각은 그래요. 칼럼은 잘 읽었습니다
이미 언급했지만, 조건식의 형태가 비슷하더라도 문제에 주어진 또 다른 조건에 따라 전혀 다른 문제가 될 수 있습니다.
문제에서 다항함수라는 조건이 주어져 있으면 그 조건을 사용하면 되는 것이고, 주어져 있지 않다면 다른 조건을 이용하면 됩니다.
그런데 도함수의 개념을 알고 있던 학생 중에 본문에 주어진 문제를 처음 보고 이건 도함수의 정의를 이용하는 문제야!라고 떠올릴 수 있는 학생이 몇 이나 될까요?
'개념을 알고 있더라도' 그런 풀이 방법을 따로 알려주지 않는 이상 거의 생각해 내기 어려운 방법을 과연 개념적인 풀이라고 할 수 있을까요?
본문에 주어진 문제에서 도함수의 정의를 도입해야만 하는 논리적인 필연성을 설명해 보시기 바랍니다.
(저의 견해로는 주어진 상황에서 도함수의 정의를 이용하는 것은 개념이라기보다 단순한 요령에 지나지 않습니다)
물론 그 풀이 방법을 생각해 낼 수 있는 학생은 극소수일겁니다. 하지만 고등과정내에서 도함수의 개념을 정확하게 아는 사람도 극소수라고 저는 생각합니다. 도대체 어떤 학생이 교과서를 보면서 미적분의 깔끔함과 자연스러운 연결관계, 그리고 그 간결함을 보고 감탄할 수 있을까요? 어떤 학생이 y=x^n을 미분하면 nx^n-1 이 되는 걸 교과서처럼 자연스럽게 증명하고 정적분과 부정적분의 관계까지 자연스럽게 설명할 수 있을까요? 저는 그런 학생은 0.1%도 채 되지 않을꺼라고 확신합니다. 즉, 제 말은 도함수의 개념을 이해한 학생은 그 자체로서 일단 평범한 학생이 아니고, 도함수의 개념을 고교과정 내에서 완전히 자연스럽게 익힐 정도의 학생이라면 위 문제를 도함수의 관점에서 접근하는 것도 시간만 있으면 충분히 가능한 일이라고 생각한다는 겁니다.
그리고 꼭 필연적이라는 건 없다고 생각합니다. 위 문제에서 왜 꼭 y 대신 x를 넣어야되죠? 0이나 1이나 2x를 넣을 수 도 있는 거 아닌가요? y대신 x를 넣는것 역시 문제를 풀기 위해 끼워맞췄다고 말할수도 있는거죠. 대한민국 평균인 고등학교 1학년 5등급 학생이 항등식을 안다해도 y대신 x를 넣고 최고차항의 차수를 구하는 방법을 생각해 낼 수 있을거라고 생각하지 않습니다
설명해 보라고 하시니까 구지 우겨보자면요..
(저는 작성자분의 의견에 어느정도는 동의하고 어느정도는 동의하지 않으니까요..)
f(x+y)에관한 식이 나왔을 때 y에다가 x를 대입하여 항등식의 성질을 이용하는 것과
도함수의 정의 식을 기억해보면 y가 h로만 바뀐다면 뒤에 -f(x)때문에 식이 쉽게 변한다는 걸 생각하는것.
둘중에 뭐가 정답이라고 말하기는 어렵지않을까 싶은데요..
chw 님이 비슷하게 얘기하셨네요.. 못보고 죄송합니다;
항등식은 문제에서 직접적으로 주어진 조건이지만,
도함수의 정의는 주어진 조건만으로 떠올리기 어려운 개념입니다.
문제에서 극한이나 변화율에 관한 것을 묻고 있는 것도 아니니까요.
본인이 그런 풀이 방식을 따로 배우지 않고 직접 떠올린 것인가요?
만약, 스스로 0.1%의 발상을 떠올릴 수 있는 사람이라면 그냥 본인의 방식대로 공부해 가면 될 것입니다.
(다만, 그런 방식을 일반적인 방법이라고 강요하는 분들이 많고, 또 그렇게 받아들여지고 있는 현실이 안타까울 따름입니다.)
감사합니다 스크랩해갈깨요
출처만 정확히 밝혀주시길~
정말 제가 늘 생각해오던 바입니다
심지어 학교선생님조차 공식을 외우라고만 가르치시니..
근데제가 게을러서;;쉽지않네요
생각만 하지 마시고 실행을..
감사합니다ㅎ 고3때마구잡이로하다가 결국 수능망치고 재수준비하면서 처음부터 개념읽어나가다가 깨닫게된내용인데 다시한번 일깨워주시네요ㅎㅎ 작년엔 왜그렇게 정신없이 달렸는지 그때도 이런생각 조금만했으면좋았을텐데ㅜ
바로 아랫분에게 '절대' 늦은 게 아니라고 조언 좀 해 주시길 ^^
이제고삼인데 이렇게공부해도 늦은게아니겠죠??
어떻게 공부해야 이보다 더 효율적이고 어렵지 않게 공부할 수 있을까요?
많은 시간 공부해도 여전히 제자리 걸음만 하고 있는 학생들이 절대 다수입니다.
'남들도 다 그렇게 하는데~'라고 고민하지 마시고,
과감하게 한 발짝 걸어나오는 순간 이미 앞서 있는 겁니다^^
'수학은 문제를 무조건 많이 풀어봐야해'라는 말만 믿고 허갑지겁 많은 문제만 풀려고 달려드는 사람에게 일침을 주는 좋은 글 인것 같습니다
^~^
헐감사합니다 공감됩니다. 사실 수학을 그냥 뭐 인강듣고 혼자하고있거든요,, 이런 풀이방법을 찾고 싶었어요 뭔가 진짜 원리로 푸는거,,, 어떻게 이런공부를 하나요?.(.예를들어 무슨 책에 이런풀이가 있다던가,,,ㅎㅎ질문이애매하죠ㅠㅠ)
아혹시선생님이쓰신책이그런원리를 주로다루는책인가욯ㅎㅎ
맞아요^^
(제 글이나 책의 방향은 기본 개념을 정확히 이해하자는 것일 뿐, 특별한 풀이 방법을 찾자는 것이 아닙니다.)
수학의 기준에 저술된 논지랑 완전 똑같네요
확실히 저런식으로 공부하니 처음 본 문제를 접할때도 당황하게 되지 않는거 같아요
더 열심히 할게요ㅌㅋ
내용의 흐름을 정확히 이해하고 있는 매우 드문 학생이로군요^^
책일단너무잘보고있습니다 현역때인강중독이여서 혼자수학공부를 해본적이없어 너무힘들었는데개념공부하기에정말최고인책같아요 재미도있구요 감사합니다^^ 궁금한게있는데 수학의기준을어떻게공부하면좋을까요 그냥 읽고 예시풀고 문제풀고 해도 그책에있는내용들을제것으로 만들수있는지 궁금합니다 지금그렇게 하고있는데 제가너무 편하게공부하고있나싶어서요ㅠㅠ 그냥 책에쓰여진내용대로읽고 풀고하면 충분할까요?
각 장의 본문 첫머리에는 그 장의 학습목표(주황색 글씨)가 적혀 있습니다.
본문에서 이해한 내용이 학습목표와 다르지 않다면 책의 내용을 어느 정도 자신의 것으로 소화한 것으로 판단할 수 있습니다.
또 하나의 판단 기준은 문제의 접근 방법이 달라지고 있는가입니다.
개념에 대한 이해가 달라지면 문제를 이해하는 방식도 달라질 수 밖에 없거든요^^