[박재우T] 안녕하세요
안녕하세요. 박재우T 입니다.
라스합시다 ^^
오늘은 과거에 쓴 글인데 세월이 좀 지나서 도움이 되는 내용이라 다시 한 번 재업을 합니다.
요즘은 기하 문제에서는 어려운 공간도형 문제는 잘 안나오죠 ?
물론 아직 활자화되지 않아서 예상 난이도가 어렵다 안 어렵다 단정지을 수는 없지만
과거보다는 쉬워진 것은 확실합니다.
공간도향 문제에서 정사영이 갖는 여러가지 측면의 솔루션들 중 과거에 썼던 괜찮은 정리를
다시 한번 소개하고자 합니다.
아래 부분은 과거에 올렸던 부분과 동일합니다.
수학이나 물리같은 과목들은 어떠한 공식이 있을 때 그 구조를 유심히 들여다 보는
습관이 매우 중요합니다.
대부분의 학생들은 미적분으로부터 왔다고들 얘기할 겁니다.
아닌가요 ?
그렇다면 미적분 이전까지의 사람들은 어떻게 이 공식을 얻어냈을까요 ?
특별히 천년전의 초기 그리스나 이집트 기하학자들은 어떻게 ?
수학자들의 역사들을 보다보면 재미있고 유용한 발견들을 볼 수 있습니다.
이제 이 공식을 얻게 되는 한가지 방법을 소개할 까 합니다.
비록 이 방법이 처음이라고는 볼 수는 없겠지만 다른 여타 흥미로운 것들 못지않게
좋은 방법이라고 생각합니다.
먼저 원리하나 소개할께요.
* Cavalieri의 원리 *
같은 높이를 갖고 각 높이에서 단면적이 같은 두 물체의 부피는 같다.
이 원리를 이해하기 위해서 매우 큰 두 입체 (피라미드 같은)를 생각해 보시기 바랍니다.
각 높이에 대해 들어가 있는 가로세로높이 모두 1짜리인 벽돌들을 생각해보시면
모양이 서로 다르더라도 같은 개수가 사용되어 졌다고 할 때 전체 부피는 당연히 같겠죠 ?
당연 빈 공간이 없이 채워진 상태겠지요.
이제 구의 부피를 얻기 위해 이 원리를 적용해 보겠습니다.
먼저 두개의 입체를 생각해 볼텐데요
반지름이 r인 구 S와 높이가 2r이고 밑면의 반지름이 r인 직원기둥에서
위 아래 두 개의 대칭 원뿔을
뺀 도형 두 개를 생각해볼께요
그림이 엉망이지만 그려서 한 번 보겠습니다.
여기에 이제 카발리에리의 원리를 적용해 보겠습니다.
같은 높이에서의 단면적이 같고 동일한 높이를 갖는 입체이므로
두 입체의 부피는 같습니다.
오른쪽 도형의 부피는 직원기둥에서 두 원뿔의 부피를 뺀 것이므로
그래서 구의 부피가 저렇게 나온다는 것을 알 수 있습니다.
모양과는 무관하게 각자 생각을 독창적으로 할 수 있다는 게 중요합니다.
이해가 좀 되셨는 지요.
그런데 사실 이 원리는 이러한 특수한 형태의 입체의 부피를 구하는 것 뿐만아니라
평면 상의 특정한 영역의 면적을 구하는 데도 사용되어질 수 있답니다.
단면적이 A이고 높이가 1인 기둥의 부피는 A 그러니까 단면적과 같습니다.
물리에서 이런 경우를 많이 적용하는 것을 아는 분들도 많이 계실겁니다.
암튼 이런 방법을 이용하여 면적을 한 번 구해보겠습니다.
물론 미적분을 알고 있다면 쉽게 얻을 수 있겠죠.
미적분 없이 설명은 그럼 어떻게 할 수 있을까요
오른쪽 그림의 꼭지점 표현이 원점에 있는 것 처럼 오해의 여지가 있어서
아래쪽에 다시 그려 놓았습니다.
이해 되셨나요 ?
왼쪽과 오른쪽은 두 입체의 동일 높이에 해당하는 x축의 좌표에서
동일한 단면적을 갖습니다.
피라미드가 되는 것은 x좌표와 y 좌표가 (c, c/2) 로 바뀌어서
직선이 되는 것은 아실겁니다.
그래서 두 입체의 부피는 같고 오른 쪽의 피라미드의 부피랑 비교하면
이때 왼쪽 입체의 밑면적을 xy평면으로 다시 생각한겁니다.
도형의 모양과는 관계없이 생각해 낼 수 있다는 것, 그러니까 쉬운걸로 바꿀 수 있다는
것이 강점입니다.
예전에 이런 문제가 나온 적이 있었죠.
기억나시나요 ?
어때요 ? 적용 가능하시나요 ^^
열공하고 좋은 결과 꼭 있길 바랍니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
올만에 번호따임 9
개웃기네 인생업적하나 등극 "식당사장님한테 번호따이기" 아.
-
오르비는 칼럼만 모아서 검색 가능한 기능을 좀 만들어야됨...
-
가면 갈수록 23시즌 배기범 블랙 같아지네 문제 호흡이 점점 길어짐
-
어떤식으로 해야 효율적일까요??저 많은 선지들을 다 외우듯이해줘야하나요??아님...
-
출장 다녀오시느라 고생 많으셨습니다 여기까지 오시는데 고생 많으셨습니다 요런 뭔가...
-
( 바라카원전 수주액 1.5배, 30조 체코 원전 입찰 결과, 오늘 발표 ) 0
수주 후 폴란드+네덜란드+루마니아 까지 모두 수주 기대....
-
문제퀄 괜찬나여 28문항을 40회분이라니... 미친 분량인데 이거 맞나
-
드디어 월간지가 출시되었습니다!! 이번 월간지에는 낙성비룡, 오유란전, 고장 난...
-
요즘 들어 많이 탈릅하는 것 같아요 그러다 보니 내년에도 여러분을 옯에서 만날 수...
-
배고프지만 저녁을 굶도록 하겠다. 이래 불규칙적으로 살다가 조만간 세상이랑 빠빠이하려나...
-
어려운거 맞죠? 해설을 읽어도 뭔 말인지 모르겠는 문제가 꽤 되네요. 6번 문제는...
-
설마 옯 하나?
-
안녕하세요. 이전부터 계속하여 논술에서 독해력을 강조했던 킹콩병장(필명) 입니다....
-
내 실력으로 갈 생각조차 못할 대학 뜨니까 기분좋네….
-
텔그 지금사면 0
수능때까지 돈 안내도되는거임? 한번 할때마다 돈냄?
-
뉴분감 이제 막 끝낸 상태이고 수분감 스텝1은 2회독 했습니다. 7모 백분위는...
-
요번에 수학 뽀록 1 ㅈㄴ 많은 듯 내 주변만 봐도 엄.. 요기까지
-
계속 2 뜨다가 수능날 3,4 뜨는 케이스 많나요? 9모 끝나고 공부 놓거나 그런...
-
나는 누구인가... 여긴 어딘가... 난 뭘 말하는거지? 나 잘하는거임? -...
-
문제가 겹치는 것도 있네...
-
집모로 7모 봤는데 88 15 22 30틀인데 미적 30 계산량 나만 많나,,,,
-
저도 휴식좀 7
10분만
-
첫 정답자 1000덕 드리겠습니다!
-
지1 보통물질, 암흑물질, 에너지 구분하는 문제에서 0
암흑물질, 보통물질, 암흑 에너지 구분하는 문제에서 시점에 관계없이 서로의 비율이...
-
오늘의 음료 24
-
국어 잘하고 싶다.. 정법아 날 배신하지 말아줘 문돌이 맞나 더프에서 4이상을 맞아본적이 없네..
-
단기 화학 과외선생님을 구합니다. - https://orbi.kr/00068757591
-
너무못알아듣길래답답해서..ㅠ 그러게누가고3모고갖고와서풀래!!!
-
종강날까지 반수 생각 없다가 종강 이후에 수능판 들어온 케이스인데 동아리 갑자기...
-
애니프사 혐오를 멈춰주세요
-
태풍에서의 풍향 변화를 배울 때는 아래 그림처럼 저기압 중심을 향해 바람이 들어가는...
-
고2 수학 0
정시파이터고 방학에 고3기출 돌리려는데 자이스토리가 좋을까요 아님 마플 기출이 좋을까요??
-
독서는 한두개 틀리는데 문학은 25-30분 걸려서 다 풀어도 10개씩 틀려요 ;;;
-
메디컬 종합전형에서 괜찮나요 동아리랑 진로는 그래도 잘 써준거같은데 자율에는...
-
그냥 게시물로만 봤던 분들이 댓글을 달아주시니 신기하네요 16
뭔가 유명인 만나는 느낌..
-
[오픈 캠퍼스 투어 안내] 안녕하세요 함께 꿈을 이루어나가는 서울시립대학교 홍보대사...
-
카톡 오픈채팅으로 인증하실 분 구합니다 서로 끝까지 지켜봐요
-
학원을 꼭 다녀야한다면 이유도 함께..ㅎㅎ
-
현재 점수대는 70후반~80초반 정도 나오고 있으며, 공통은 2~3문제 제외하고 잘...
-
산에있어서 공기가 맑아서 그런거같음 ㄹㅇ 별거아닌이유라고 생각할지모르겠는데 서울대...
-
어느새부터 일반피자는 치즈가 거의 없어졌어..
-
준킬러 기조에 강화되어있는 테마별 방법론을 아시는분께 단기적으로 과외받고싶습니다....
-
실전강의로 공식, 실전개념, 발문해석 6월초~7월초초 수완으로 계산 매꾸기 끝나감...
-
수능 응시생들이 재능 없으면 뭣도 안된다는 현실 깨닫고도 미련하게 수능판 남아있는게...
이런 좋은 칼럼 항상 감사드립ㄴㅣ다!