실력정석 수2연습문제 6-7입니다. 답지봐도 모르겠네요..
게시글 주소: https://image.orbi.kr/000360016
1달전부터 실력정석 보고있다가 답지봐도 모르겠다는 문제는 첨보네요..
a1 > a2 > a3 > ... > an 일때, 다음 방정식의 실근의 개수를 구하여라.
1 / ( x - a1 ) + 1 / ( x - a2 ) + 1 / ( x - a3) .......... + 1 / ( x - an ) = 0
여기까지가 문제이고 밑에는 답이 있으니 보실분은 보세요.
제가 답내린 방식은 이렇습니다.
a1 > a2 > a3 > ... > an
f(a1), f(a2) 등은 분모를 0 으로 만들기 때문에 정의 되지 않습니다.
자 그래서 a1과 a2 사이에 있는 어떤 임의의 C값을 잡아서 보겠습니다.
C가 a1-0 에 가까워지면, f(x)는 무한소,
C가 a2+0 에 가까워지면, f(x)는 무한대,
이렇게 해서 a1과 a2 사이에는 연속이라 근이 최소한 1개 생긴다.
같은 방법으로 매 구간마다 최소한 근이 1개 생긴다.
x가 an 보다 작은값을 넣는경우 f(x)는 항상 음수이므로 근이 없다.
x를 a1보다 큰 값을 넣는경우 f(x) 는 항상 양수이므로 근이 없다.
그러나 f(x)는 전개를 하였을시 분자가 n-1차 방정식이 된다.
그래서 근은 n-1개 라고 결론을 내렸습니다. 사실 이건 방금 글쓰면서 생각나서 쓴 풀이 입니다;
질문 1번. 제 풀이에는 혹시 틀린점이 있나요??
f(x)= ∑ 1/ x-ak 로 놓으면
g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 는 n-1차 다항식이다.
g(a1) = (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) >0
g(a2) = (a2-a1)(a2-a3).... (a2-an) <0
g(a3) >0
g(a4) <0
양과음이 이렇게 번갈아 일어나므로
최소한 g(x)는 n-1개의 근이 생긴다.
그런데 g(x)는 n-1차 방정식이므로 실근은 n-1를 초과해서 가질수 없다. 따라서
f(x) = 0의 실근의 개수는 n-1개 이다.
제가 모르는 부분은 여기입니다.
질문 2번.
g(x) = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an)f(x) 라고 하였는데
g(1) 이 왜 (a1-a2)(a1-a3).... (a1-an) 이 되는가 입니다. 저도 비슷한 방법을 생각해보았으나 밑에 처럼 전개되어서 포기했더랫죠..
f(x)를 직접 넣어봐도 항이 무수히 많이 나오고 저렇게 하나의 항으로 나오지 않고 항이 여러개가 나오네요.
또한 문제가 f(a1), f(a2)등은 분모를 0으로 만들어서 정의되지 않는데...
일일이 전개하면 제생각엔 이렇게 될거같은데 말이죠 ...
g(x) ={ (x-a2)(x-a3)(x-a4)...(x-an)} +{ (x-a1)(x-a3)(x-a4)...(x-an) }+ {(x-a1)(x-a2)(x-a4)...(x-an)} .... + { (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-an-1) }
여기서 g(a1)는 n이 짝수냐 홀수냐에 따라 음 + 양 + 음 + 양 + 음.. 또는 양 + 음 + 양 +음 ... 이 번갈아 가는 합 모양이라서 양인지 음인지 확실치 않아 포기했습니다.
이거 어떻게 풀어야하나요?
뭔가 될듯 하면서도 안되고... 내일 아침에 보면 될것도 같은데 정말 궁금해서 잠도안오네요
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
얼버기 0
-
나랑 같은때 태어났으면 서연고 갔다고 그러는데 어케 생각함? 본인은 건대24공대임...
-
재채기 잘못했더니 갑자기 뇌줄기가 끊어질듯이 아프길래 머리뒷쪽 잡고 소리지르면서...
-
헬스장 키 두고 와서 다시 집가는중
-
러셀 1
벌점 10점 이상이면 부모님한테 연락 간다는데 딱 10점 받으면 바로 가나 정석민...
-
이벙도면 n제 양치기 해서 수능날 백분위 98까지 올릴 수 있으려나 수학 진짜하
-
나 어제 술 먹고 남친한테 뭔말을 지껄인 거냐
-
그럴리가 없는데 5
물2가 수능때 백분위 100이 있을리가 없잖아
-
얼부기 2
부기
-
국어 독서 기출 거의 다 풀어가는데 풀면서 나름 기출분석도 스스로 해보고 고민도...
-
내 주사 1
소 : 맞춤법 틀림, 실실 웃음, 행복해함 중 : 맞춤법 안 틀림, 자신의 일을...
-
자야지 2
-
오류 있으면 알려주세요
-
윤성훈 기출분석 두바퀴 돌렸는데 검더텅 말고 빨거텅 할까요? 윤성훈이 5개년 기출만...
-
기차지나간다 2
회기행!-!
-
오늘 왜이러냐 진짜..
-
십덕의 물2 6
개념만 잘 알면 물2는 6모보다 쉬운듯?
-
모의고사를 볼 때마다 빡통에 기까워지ㅡㄴㄴ
-
준다고 하는 소문이 있어요
-
요즘애들보면 초딩 저학년때나 조금 선생님 보고 쫄지 한 중딩 넘어가고서부턴 그냥...
-
남대생기면 갈사람 없을듯 누가 성인되고 남대 군대 트리를 감 ㅋㅋ
-
아 키 안크나 0
현 178 고3 인데 키크고싶다 적당히 180 만 넘으면 좋을것 같은데
-
어제 봤어야하는데 잠들어버린..
-
수학 2등급 2
5월까지 수학 1번만 풀 수 있는 노베였다가 5월달부터 열심히 하기로 마음먹어서...
-
얼버기 6
어제 10시에 잠듦
-
금토일 술마시고 월부터 달린다
-
"화질 좋은 아이폰으로 바꾸세요"…유치원 교사, 학부모 말 듣고 황당 1
휴대폰 화질이 안 좋다는 이유로 학부모로부터 '갤럭시를 쓰지 말라'는 강요를 받고...
-
수학능력시험을 앞둔 제자를 집으로 데려가 강제추행한 전직 교사가 징역형의 집행유예를...
-
얼버기 0
기상 성공
-
기상 2
아침롤 ㄷㄱㅈ~~
-
머스크, 한국인 테슬라 주식 보유 1위에 "똑똑한 사람들" 1
(샌프란시스코=연합뉴스) 김태종 특파원 = 일론 머스크 테슬라 최고경영자(CEO)는...
-
태어난게 실수인듯
-
세종 성추행 피해 초등생 아버지의 절규…"촉법소년이랍니다" 1
초등학생 피해자 동선 파악해 집 앞에서 기다렸다 범행 반복 피해 부모 엄벌 호소...
-
'스캠코인 의혹' 위너즈 측, 경찰 압수수색 불복해 준항고 1
"집행 절차 위반·범위 외 압수수색"…경찰 "적법하게 집행" (서울=연합뉴스)...
-
글좀써보쇼 6
너말이야 너
-
트럼프측, 바이든 회견에 대만족…"내쫓길 정도로 못하진 않아" 1
"선거에 남으면서 공화에 공격거리 제공…민주당의 최악의 악몽" (워싱턴=연합뉴스)...
-
진짜아무도없군 17
4시니까당연한건가... 시간감각이사라져서 지금 사람들 활동해야할거같음...
-
남자 여자 1대1비율입니다. 잘생긴 남자들만 모집해서 이미 마감했고 여자만 자리...
-
무잔이다!! 3
녀석은 목을 베어도 죽지 않아!!
-
천만 유튜버 쯔양도 먹잇감… 줄지 않는 ‘몰카범죄’ 1
쯔양, 전남친에 ‘유포 협박’당해 지속 폭행 피해·수익 40억 뺏겨 불법 촬영 범죄...
-
ㄹㅇ..
-
작수때 미적 응시자였는데 미적을 너무 못해서 수능때 수학만 나락가서 대학 못간...
-
질문받아요 14
빠른 조기입학 + 국제학교 중고 검정고시 -> 수능 응시 1학점듣고 반수중이에요
-
"쯔양 언니 힘내요" 보육원 아이들이 쓴 편지.."한달 살 돈" 매달 기부했던 그녀 [포착] 2
[파이낸셜뉴스] 구독자 1030만명을 보유한 먹방 유튜버 쯔양이 4년 동안 전...
-
22예비22 0
무턱대고 비율관계 X -> 비율관계를 어떻에 이용할 수 있을지 생각해보기 1....
-
부라 ㄹ 통이 가렵군
-
학교 째고 관리형 독서실 감(진짜임)
-
'정의' 내세우며 약점 협박·뒷거래…'사이버 레커' 이대로 괜찮나 2
"사이버 레커". 온라인상에서 특정 주제에 대해 자극적인 콘텐츠를 만들어내는...
-
달이 뜰 때 일어나 해가 뜨면 자고 재미도 없는 게임에다 돈을 쏟아붓고 불법 만화...
기하학적 접근법 1)
a1 > a2 > a3 > ... > an
그리고
1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) = 0 의 근은
y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 의 x축과 교점의 개수와 같고,
y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 는
y = 1/(x - a1), y = 1/(x - a2), y = 1/(x - a3), ..., y = 1/(x - an) 이렇게 n개의 유리함수를 더한 개형입니다.
이렇게 기하학적으로 y = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 를 보면 당연한 얘기죠.
기하학적 접근법 2)
1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) = 0 의 근은
f(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3)...(x - an) 이라 할 때
그 도함수인 f'(x) = 0 의 근과 같은 집합을 이룹니다.
(이 내용을 대놓고 물어보는 문제들도 많고,
실력 정석의 이 문제를 풀어보고 이러한 깨달음을 얻는게 보편적인듯;;;)
가령 f가 n차 함수라면
f'이나 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 의 차수가 같습니다.
문제는 분모를 0으로 만들어버리는 무연근인데,
a1 > a2 > a3 > ... > an 이란 조건 때문에
절대로 무연근이 생기지 않습니다.
f의 극대,극솟값이 0이 아닌 값일 때, 미분하면 그 지점에서 0을 갖죠.
f의 극대,극솟값이 0이라면 f가 x축에 접한다는 얘기고
적어도 (x - ak)²을 인수로 갖고 있기에 f를 미분해도 (x - ak)라는 인자가 사라지지 않고,
1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 에서 문제를 일으킵니다만,
a1 > a2 > a3 > ... > an 때문에 그런 일은 없습니다.ㅎ
첫번째 질문.
나름 괜찮은 생각인데, 차수가 1만큼 줄어든다는 것만 염두에 두고 푸시면 되겠네요.
두번째 질문.
정석 풀이가 잘못됬습니다 ㅎ
가령, f(x) = (x² - 1)/(x - 1) 라는 함수와 g(x) = x + 1 이라는 함수가 완전히 똑같지 않습니다.
f(x)에선 불연속점 부분에서 정의되지 않죠.
그런데 떡하니 정석에선 그 값을 대입해놨네요.
정석에도 해설 미스가 있기는 있습니다;;;
암튼 이 문제를 통해서
a1 > a2 > a3 > ... > an 일 때
f(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3)...(x - an)의 도함수 f'(x)가
g(x) = 1/(x - a1) + 1/(x - a2) + 1/(x - a3) + ... + 1/(x - an) 과
동일한 함수는 아닐지라도
해집합은 같다는 점만 캐치하고 넘어가시면 충분할 듯 싶네요.