할일 없는 사람만 풀어보기
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출처는 여러 군데입니다. 수능 준비 하시는 분들은 그냥... 보기만 하면 됩니다. 제목대로...
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수능 준비하는 사람 중에 할일없는 사람이 저걸 풀 수 있을까요....
풀 수 있지 않을까요? 하지만 고3은 푸는 걸 추천하지 않습니다. 수능 준비하는 데는 도움이 안 될 거라서..
오늘도 재밌는 문제 감사요~
1. Cauchy부등식 (ac-bd)^2 <= (a^2 +b^2 )(c^2 +(-d)^2 ) 적용. 혹은 a,b,c,d를 각각 cos u, sin u , cos v , sin v로 치환하면 덧셈공식에 의해 바로 나옵니다.
2. 람다에 의한 내림차순 정리하면 이차방정식이 모든 실수 람다에 대해 성립해야 하므로 판별식 <= 0 보이는 것으로 충분.
(sin 2B + sin 2C)^2 < 2(1-cos 2A) 보이면 되는데 좌변은 4sin^2 A cos^2 (B-C), 우변은 4 sin^2 A이므로 자명.
3. (1) 한쪽방향은 쉽고, s,p,q>0 ==> u,v,w>=0 보이면 충분. q>0으로부터 u,v,w 중 음수인 것은 0개 or 2개. 0개면 증명할 것 없으므로 음수 2개라 가정하고 모순 유도.일반성 잃지 않고 u>0>v,w 라고 하면, s>0이므로 u>-(v+w). 그러면 p=u(v+w)+vw <-(v+w)^2 +vw = - (v^2 +vw+w^2 )<0 이므로 모순.
(2) - cos C = cos (A+B) = cos A cos B - sin A sin B 이므로 자명.
(3) cos A +cos B +cos C = 2sin C/2 cos (A-B)/2 + 1 - 2 sin^2 C/2 = 1 +2sin C/2 (cos (A-B)/2 - cos (A+B)/2 ) = 1 +4sin A/2 sin B/2 sin C/2
(4) cos 제2법칙 우변에 적용하고 분모 통분하면 (우) = (a^2 b + ab^2 +b^2 c+bc^2 +c^2 a +ca^2 -2abc-a^3 -b^3 -c^3 )/(2abc) =(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc).
삼각형 세변길이 a,b,c라 하고, t=(a+b+c)/2, b+c-a=2x, c+a-b=2y, a+b-c=2z , S=넓이 라고 두면, 헤론 공식(S^2 = txyz)과 S=tr, 4RS=abc 등의 공식에 의해 (좌)=r/R = 4S^2 / tabc = 4xyz / abc 임. 따라서 같음.
(5) 힌트대로 계산. 생략..ㅎㅎ (2) 양변 제곱한 식 이용하여 u^2 +v^2 +w^2 +2uvw=1 얻음. (3),(4)로부터 u+v+w>=1, uvw>=-1 등은 자명. 반대방향은 (1) 이용하거나 일일이 증명..
정말 잘 푸시네요^^ 사실 이 문제들은 모두 구글링해서 찾은거라, 지금은 모르비라 곤란한데 나중에 문제 출처 올려 드릴게요.. 아 그리고 3-(3)은 문제를 님이 푸신 대로 고쳐야 하겠네요... 정삼각형이 반례... ㅠㅠ 감사합니다!