똑같은 함수식인데 다른 개형이 나올 수 있나요? y=x^(2/6) 와 y=x^(1/3)

위의 식은, 근호 안이 항상 양수라, x의 값에 상관없이 y는 항상 양수 (x=0일때만 y=0)
아래의 식은 근호 안이 음수일 수도 있으니, y는 양수일 수도 있고 음수일 수도 있고. (x=0일때만 y=0)

식을 근호형태로 쓰지 않고 x^(1/3), x^(2/6) 이런식으로 쓰면 결과가 달라지나요?

본문의 함수식은 x^(1/3), x^(2/6) 이것과 같은식이 아닙니다. 지수법칙에서 분수제곱의 형태일때 밑은 음수가 될 수 없기 때문에, 이 함수들은 정의역이 x>0 으로 제한이 되는겁니다. x=0도 들어가지 않아요.

따라서 이렇게 분수로 쓴다면 x>0이 확정되기 때문에 x^(1/3)=x^(2/6)이 성립 합니다. 이는 위의 그래프의 x>0인 부분에서도 확인 가능하구요.

위 식과 아래식은 똑같은 모양은 맞아요. 다만 위 식은 x값이 음수여도 함숫값은 항상 양수지만, 아래 식은 x값이 음수이면 함숫값은 음수지요. 즉 x<0일 때 위 식과 아래식은 y=0에 대칭인 관계인 거죠

정리하자면 위나 아래나 그래프의 모양 자체는 같지만, 단지 x<0일 때 치역의 범위가 서로 다른 거죠. 위식의 함숫값을 f(x)라고 하면 아래식의 함숫값은 -f(x)이 되는 것일 뿐인 것.

보통 우리가배운 지수 대부분은 0보다 작을때 성립을 잘안합니다 위도 그런경우입니다.

식이 똑같다는 생각 자체가 오류입니다.

물론 x ≥ 0 인 볌위에서는 두 식이 똑같이 x^(1/3) = x^(2/6) 이 되기 때문에 같아지지만, x < 0 에서는 '유리지수가 정의되지 않습니다'!

교과서를 탈탈 털어서 잘 살펴보세요. 우리는 밑이 양수가 아닌 경우 오직 정수지수에 한해서만 지수를 정의했을 뿐 유리지수나 실수지수 따위를 정의한 적이 없습니다.

그래서 당연히 지수법칙도 쓸 수 없고, 두 식이 같다고 이야기할 수 없는 것입니다.

그러면 왜 밑이 음수일 때 지수를 정의하지 않을까요? intabiloo님이 잘 이야기해주셨듯이, 지수법칙이 상당수 깨지기 때문입니다. 지금 목격하신 경우 자체가 바로 여기에 해당되지요.



사실 이점이 재미있는 부분인데, 처음 배울 때에는 거듭제곱근과 유리지수를 연결짓는 것에 곤란을 겪곤 하는데, 익숙해지만 반대로 둘을 항상 같은 것으로 생각해서 혼란이 오곤 하지요. 둘이 일치하는 범위는 (적어도 고등학교 범위에서는) 오직 밑이 0 이상인 실수일 때뿐입니다.

sos님 질문이 있습니다. 제가 배우기로 0의 분수지수는 정의를 하지 않았다고 배웠는데, x=0에서 분수지수를 쓸 수 있나요? 루트x와 x의 1/2제곱은 다른 함수라고 알고 있어서요.

정의하기 나름이지만, x > 0 이면 0^x = 0 으로 정의하는 것이 상당히 그럴듯하지요? 함수의 연속성에 비추어보았을 때 말이지요. 때문에 0의 양수지수 거듭제곱을 굳이 정의하지 않을 이유가 없습니다.

하지만 이는 어디까지나 x^p 꼴의 함수를 생각할 때 유용한 것이지, 밑이 0인 지수함수라는 개념 따위가 유용하다는 내용은 아닙니다.

감사합니다 음수일때 분수지수를 조심해야겠네요