극한 미분쪽 문제좀 풀어주세여 ㅜ

g(x)의 정의에서 등장하는 h의 정체가 무엇인지 제시가 되어있지 않네요.

어쨋든 우리가 할 수 있는 최선을 다 하기 위하여, 임의의 실수 x에 대하여 함수 p(x)를 다음과 같이 정의합시다:

p(x) = f(e^x) - 1.

그러면 간단한 대입을 통하여

(1) p(x) ≤ e^x - 1 (x는 실수)
(2) p(x+y) ≤ p(x) + p(y) (x, y는 실수)

임을 쉽게 알 수 있습니다. 이제 임의의 실수 x와 자연수 n에 대하여, y = x/n 로 두면

p(x)
= p(ny)
≤ p(y) + p((n-1)y)
…
≤ np(y)
= np(x/n) ≤ n(e^(x/n) - 1)

이므로, n→∞ 의 극한을 취하면

(3) p(x) ≤ x

입니다. 그런데, 임의의 두 실수 x, y에 대하여,

p(x+y) ≤ p(x) + p(y) ≤ p(x) + y

이고,

p(x) = p(x+y - y) ≤ p(x+y) + p(-y) ≤ p(x+y) - y,
⇒ p(x) + y ≤ p(x+y)

이므로,

(4) p(x+y) = p(x) + y (x, y는 실수)

임을 얻습니다. 따라서 x = 0 을 대입하고 y를 x로 이름을 바꿔주면 p(x) = p(0) + x 이고,

p(0) = p(0+0) ≤ p(0) + p(0) ⇒ 0 ≤ p(0),
p(0) ≤ e^0 - 1 = 0

이므로, p(0) = 0입니다. 따라서

(5) p(x) = x (x는 모든 실수)

이고, 이로부터

(6) f(x) = 1 + lnx

임을 얻습니다.