행렬 참거짓문제 풀어주세요 ㅠ

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(AB)² = AB 이면 (BA⁾²⁼ BA 이다. 이거랑

A=B가 아니고 A³=B³,A²B=B²A 이면 A²=B²의 역행렬은 존재하지 않는다.

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jjs5086 [394429]

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becomeahuman · 402817 · 12/04/08 13:23 · MS 2012

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sos440 · 104180 · 12/04/08 13:35 · MS 2005

첫 번째 문제의 반례는

A = {{1, 1}, {0, 0}}
B = {{1, 0}, {-1, 0}}

입니다. (단, 2차 정사각행렬을 {{a, b}, {c, d}} 꼴로 적었습니다.) 계산해보면

AB = O
ABAB = O
BA = {{1, 1}, {-1, -1}}
BABA = O

이 됩니다. 그러나 만약 A가 역행렬을 가지면,

ABABA = ABA

의 좌변에 A의 역행렬을 곱해주어서 주어진 명제가 참이 됩니다. 즉, 이 문제에서 반례가 발생하는 주된 이유는 '영인자'의 존재 때문입니다.

두 번째 문제는 문장을 맞게 적으신건지 잘 모르겠네요. 세 조건

(i) A ≠ B,
(ii) A³ = B³,
(iii) A²B = B²A

로부터 A² = B² 이고 둘 다 역행렬을 갖지 않는다는 내용의 명제인 건가요?

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jjs5086 · 394429 · 12/04/08 17:36 · MS 2011

네 그렇습니다 그런데 첫번째거의 반례가 있을지 어떻게 바로 아시나요? (BA)2= BA 양변 앞에 A 곱하면 참이 나오는거 아닌가요? 왜 이렇게 풀면 안되는지 설명 부탁드려요^^;

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sos440 · 104180 · 12/04/08 18:57 · MS 2005

지금 묻고 계신 내용은 수학 이전에 '논리' 문제입니다. 주어진 문제의 가정은 (AB)² = AB 입니다. 이제 우리에게 주어진 질문은, 여기에서 '(BA)² = BA' 가 항상 유도되는지 아닌지를 판단하는 것이지요.

그런데 지금 jjs5086님은 결론을 전제했습니다.

쉽게 말하면, 범행 현장이 있고 여기서 범인을 추론해야 하는데, 지금 jjs5086님의 논리는 "자, 용의자 너가 범인이라고 가정해보자, 그러면 여차저차하니까 네가 범인이다!" 라는 논리입니다.

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첫 번째 거에 반례가 어떻게 있는지를 바로 알았느냐 하고 물으시면...

글쎄요, (AB)² = AB 의 양 변 왼쪽에 B를 곱해서 BABAB = BAB, 혹은 (BABA - BA)B = O 을 만들 때, BABA - BA 와 B가 서로 영인자가 되어 O을 주는 가능성이 있을 것이라고 추측했다고 할 수 있겠네요.

뭐 정확히는 많은 행렬 반례로 다져진 일종의 직감이지만 말이지요.

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