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sos440 [104180] · MS 2005 · 쪽지

2012-02-04 01:03:19
조회수 702
1

예전에 올렸던 '쉽거나 어려운 문제'의 풀이

게시글 주소: https://image.orbi.kr/0002718512

아무도 관심갖지 않는다는 것을 확인하고, 쓸쓸하게 풀이만 올립니다. ;ㅅ;

[문제 링크]

1, 2, 3번 풀이는 생략하고, 4번 풀이만 해 보겠습니다.

두 함수 $\psi_0 (x)$ 과 $\psi_1 (x)$ 을 다음과 같이 둡니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\psi_0%20(x)%20=%201,%20\quad%20\psi_1%20(x)%20=%20ax%20+%20b$

단, a와 b는 다음 두 조건에 의하여 결정되며, a > 0 입니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{1}%20\psi_0%20(x)%20\psi_1%20(x)%20\;%20dx%20=%200,%20\quad%20\int_{0}^{1}%20\psi_1%20(x)^{2}%20\;%20dx%20=%201$

그러면 간단한 계산을 통해

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\psi_1%20(x)%20=%202\sqrt{3}%20x%20-%20\sqrt{3}$

이고 따라서

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%20=%20\frac{1}{2}%20\psi_0(x)%20+%20\frac{1}{2\sqrt{3}}%20\psi_1%20(x)$

임을 알 수 있습니다. 이제 함수 f(x)를 다음과 같이 분해합니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(x)%20=%20p%20\psi_0(x)%20+%20q%20\psi_1%20(x)%20+%20g(x)$

단, 여기서

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?p%20=%20\int_{0}^{1}%20f(x)\psi_0%20(x)%20\;%20dx,%20\quad%20q%20=%20\int_{0}^{1}%20f(x)\psi_1%20(x)%20\;%20dx$

입니다. 그러면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{1}%20g(x)\psi_0%20(x)%20\;%20dx%20=%20\int_{0}^{1}%20g(x)\psi_1%20(x)%20\;%20dx%20=%200$

이 성립합니다. 그러면

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\int_{0}^{1}%20f(x)%20\;%20dx%20&=%20p^2%20+%20q^2%20+%20\int_{0}^{1}%20g(x)^{2}%20\;%20dx%20\\%20\int_{0}^{1}%20f(x)%20\;%20dx%20&=%20p%20\\%20\int_{0}^{1}%20x%20f(x)%20\;%20dx%20&=%20\frac{p}{2}%20+%20\frac{q}{2\sqrt{3}}%20\end{align*}$

이므로, 대입하여 정리하면, 문제에 주어진 부등식

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{1}f(x)^{2}\;%20dx+2\left(\int_{0}^{1}f(x)\;%20dx\right)^{2}%20\%20\geq%20\%206\left(\int_{0}^{1}xf(x)\;%20dx\right)^{2}$

은 다음과 필요충분조건입니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{0}^{1}%20g(x)^{2}%20\;%20dx%20+%20\frac{1}{2}%20(q%20-%20p%20\sqrt{3})^{2}%20\geq%200$

그런데 위 부등식은 임의의 p, q, g(x)에 대하여 참이므로, 원하는 바가 증명됩니다.

수학적인 표기를 동원하자면, 내적을 이용하여

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?{\color{Gray}%20L^{2}[0,1]%20=%20\left%3C%20\psi_0%20\right%3E%20\oplus%20\left%3C%20\psi_1%20\right%3E%20\oplus%20H%20}$

로 분해한 후 살펴본 것이지요.

참고로 이외에도

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?F(x)%20=%20\frac{1}{x^2}%20\int_{0}^{x}%20\int_{0}^{y}%20f(z)%20\;%20dzdy$

로 두고 푸는 방법도 있습니다. 이 경우 광란의 부분적분을 통해

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\int_{0}^{1}f(x)^{2}\;%20dx%20&%20=%20\int_{0}^{1}x^{4}F%27%27(x)^{2}\;%20dx+4%20F%27(1)^{2}+4F%27(1)F(1)+4F(1)^{2},\\%20\int_{0}^{1}f(x)\;%20dx%20&%20=%20F%27(1)+2F(1),\\%20\int_{0}^{1}x%20f(x)\;%20dx%20&%20=%20F%27(1)+F(1).%20\end{align*}$

임을 알 수 있고, 역시 대입하여 정리하면 비슷한 꼴의 절대부등식으로 환원됩니다.

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sos440 [104180]

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Hack · 365327 · 12/02/05 00:03 · MS 2011

감사합니다

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Hack · 365327 · 12/02/05 00:14 · MS 2011

[ ∫ xf(x) dx ]^2 ≤ ∫ x^2 dx · ∫ f(x)^2 dx = (1/3)[ ∫ f(x)^2 dx ]

에서 나아가는 방법은 없을까요? 뭔가 풀릴 것 같기도 하고 -ㅅ-a

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sos440 · 104180 · 12/02/05 15:50 · MS 2005

글쎄요... 저는 잘 모르겠네요. 하지만 만약 부등식

(∫ xf dx)² ≤ (1/3)(∫ f² dx)

에다가 또 다른 절대부등식을 더해서 주어진 부등식을 얻어낼 수 있느냐는 질문에는,,, 아니라고 말씀드리고 싶네요. 두 부등식의 등호조건 자체가 다르거든요. -ㅁ-

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