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sos440 [104180] · MS 2005 · 쪽지

2012-01-28 01:39:42
조회수 393

general :P 님의 질문에 대한 답변

게시글 주소: https://image.orbi.kr/0002674420

도대체 왜 덧글이 지원이 안 되는지는 이해가 안 가지만, 어쨋든 댓글로 행렬 쓰기 빡세서 그냥 이렇게 씁니다. 문제 조건으로부터

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20\begin{pmatrix}%203%20\\%202%20\end{pmatrix}%20=%20\begin{pmatrix}%202%20\\%201%20\end{pmatrix}

을 얻습니다. 그런데 위 식은 A의 네 성분에 대한 식으로 생각해보면 4원 일차 연립방정식이 되는데, 결정해아 되는 미지수는 4개이지만 식은 두 개밖에 나오지 않습니다. 따라서 나머지 두 식을 찾기 위하여 또 다른 조건을 다음과 같이 활용합시다. 위 식의 양 변에 A의 역행렬을 곱하면 다음의 식을 얻습니다.

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{-1}\begin{pmatrix}%202%20\\%201%20\end{pmatrix}%20=%20\begin{pmatrix}%203%20\\%202%20\end{pmatrix}

그러면



입니다. 따라서 나머지 두 식이 나오고, 이제 미지수 4개에 식 4개가 있으므로 '이론적으로는' 행렬 A를 결정할 수 있습니다. 그러나 이 문제가 요구하는 것은 행렬 A를 결정하는 것이 아니라 그 원소들의 합입니다. 그리고 이 경우 훨씬 더 간단한 풀이가 있습니다. 자주 나오지는 않지만, 어쩌다 간혹 쓸 만한 아이디어이므로 눈여겨봅시다.

행렬 A를

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20\begin{pmatrix}%20a%20&%20b%20\\%20c%20&%20d%20\end{pmatrix}

라고 둡시다. 그러면

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A\begin{pmatrix}%201%20\\%201%20\end{pmatrix}%20=%20\begin{pmatrix}%20a%20+%20b%20\\%20c%20+%20d\end{pmatrix}

이므로, 만약 우리가 좌변의 식의 결과를 계산해낼 수 있다면, A 자신에 대한 정보를 전부 다 알지 못하더래도 얼마든지 a+b+c+d 의 값을 결정할 수 있습니다. 그리고 실제로 이 문제의 경우

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A\begin{pmatrix}%201%20\\%201%20\end{pmatrix}%20=%20A\begin{pmatrix}%203%20\\%202%20\end{pmatrix}%20-%20A\begin{pmatrix}%202%20\\%201%20\end{pmatrix}%20=%20A\begin{pmatrix}%207%20\\%204%20\end{pmatrix}

이므로,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?a+b+c+d%20=%207+4%20=%2011

입니다. 물론, 앞서 말했 던 것처럼 A를 결정해서 계산할 수도 있습니다. 실제로 위의 두 조건으로부터

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20\begin{pmatrix}%203%20&%202%20\\%202%20&%201%20\end{pmatrix}%20=%20\begin{pmatrix}%202%20&%20-5%20\\%201%20&%20-3%20\end{pmatrix}

를 얻으므로,

http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20\begin{pmatrix}%20-12%20&%2019%20\\%20-7%20&%2011%20\end{pmatrix}

입니다.

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sos440 [104180]

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