어려운 문제 하나(1b)

1/s -1/s+1 맞나요?
an 정리는 쉬운데 그다음이 문제네요;;
문제 감사합니다.

이제 보니 부분합의 극한으로 할 필요가 없군요 괜히 돌아갔네...

주어진 식 a_n에서 x/n을 u로 치환하면 a_n은 u^s * (1-u)^n을 구간 [0, 1]에서 적분한 값이 됩니다.
이 때, b_m = a_1 + a_2 + ... + a_m이라고 하면
b_m은 [ u^s * { (1-u) + (1-u)^2 + ... + (1-u)^m } ]을 구간 [0, 1]에서 적분한 값이고, 중괄호 안은 { (1-u) - (1-u)^(m+1) } / u입니다.
그런데 u^s * (1-u)^(m+1)을 구간 [0, 1]에서 적분한 것에 부분적분을 연속적으로 적용하면 이는 { (m+1)(m)(m-1)...(1) } / { (s+m)(s+m-1)...(s) }와 같은데, m이 양의 무한대로 발산하면 이 값의 역수가 양의 무한대로 발산하므로 m이 양의 무한대로 발산하면 { (m+1)(m)(m-1)...(1) } / { (s+m)(s+m-1)...(s) }은 0으로 수렴합니다. 따라서 구하는 무한급수는 u^(s-1) * (1-u)를 구간 [0, 1]에서 적분한 값과 같습니다.

x = nsin²(t) 로 치환하면

a(n) = 2 ∫_{from 0 to π/2} sin^{2s+1}t cos^{2n+1}t dt

입니다. 피적분항이 음수가 아니므로, 토넬리 정리(Tonelli's theorem)에 의해 적분과 무한급수의 순서를 교환할 수 있고, 이로부터

∑ 2 ∫ sin^{2s+1}t cos^{2n+1}t dt
= 2 ∫ sin^{2s+1}t ∑ cos^{2n+1}t dt
= 2 ∫ sin^{2s+1}t cos³t / (1 - cos² t) dt
= 2 ∫ sin^{2s-1}t cos³t dt
= β(s, 2)
= (s-1)!1!/(s+1)!
= 1/s(s+1)

입니다. 단, β(z, w)는 베타함수입니다. 물론 베타함수를 등장시키지 않고도 얼마든지

2 ∫ sin^{2s-1}t cos³t dt
= 2 ∫ sin^{2s-1}t cost dt - 2 ∫ sin^{2s+1}t cost dt
= 2 ∫ u^{2s-1} du - 2 ∫ u^{2s+1} du
= 1/s - 1/(s+1)
= 1/s(s+1)

와 같이 적분 계산을 쉽게 할 수는 있습니다만...

세분 모두 정답이세요 ^^

토나오네요 오르비에 괴물만 존재하는군요..

문과도 풀수있나요?

혹시 힌트좀 주실 수 있을까요 풀고 싶고 풀수 있을것 같은데 도저히 안나오네요 ㅠㅠ 일반항 an이 1/s+n과 컴비네이션의 곱들의 합으로 나오나요?

하찬지만제가푼바로1/(s)(s+1)이나오내요 일반항으로해볼려햇는대 잘안되서 적분식그대로다해서약간이상하게하니까이렇게나오내요 맞는지?

공기님 송송님 정답입니다^^

우와 겨우 풀었다 ;;;;; 1/s(s+1)