(05' 6평, 09' 7월교육청) 미분 2문제 풀이 비교해주세요
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마플 문과 미통기 344, 345번문젠데요ㅠ
05 6평) 두 함수 f(x)=5x^3-10x^2+k, g(x)=5x^2+2가 있다. {xㅣ0<x<3}에서 부등식 f(x)>= g(x)가 성립하도록 하는 상수 k의 최솟값을 구하시오.[4점]
09 7교육청) 모든 실수 x에 대하여 부등식 3x^4 -8x^3 -6x^2+24x >= k-2sin[파이/2]x가 성립할 때, 상수 k의 최댓값은? [3점]
한번 종이에 써서 보시면 더 눈에 잘 보이실듯 해요 ㅠㅠ
풀이가요
두번째 문제의 경우 부등호 왼쪽 식의 최솟값>= 오른쪽 식의 최댓값 으로 해서
-19 >= k+2 으로 풀었거든요..
그런데 첫번째 문제는 그렇게 해서 풀으려고 했는데 (f의 최소, g의 최대) 그러면 답이 안나오구요
g를 좌로 옮겨서 f(x)-g(x)를 한 후 극대, 극소 따져서 풀어야지 답인 22가 나오더라구요 ㅠ 왜 그런건가요?
두 문제가 왜 풀이가 다른건지...설명좀해주세요~
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일반적으로 두 함수 f, g가
(1) …… f(x) ≥ g(x)
을 만족한다고 해서, 이것이
(2) …… f(x)의 최소값 ≥ g(x)의 최대값
을 의미하지 않습니다. 기하학적으로 생각해보세요. f(x)의 최소값을 m, g(x)의 최대값을 M이라고 할 때, (2)라는 조건을 다시 적어보면
(3) …… f(x) ≥ m ≥ M ≥ g(x)
가 됩니다. 이 말은, 임의의 m ≥ c ≥ M 를 만족하는 실수 c에 대하여 y = f(x) 의 그래프와 y = g(x)의 그래프 사이에 y = c 라는, x축에 평행한 직선이 끼어있다는 것을 의미합니다. 그런데 이런 일은 (1)이 성립한다고 해서 항상 일어나는 일이 아닙니다.
예를 들어서, [-2012, 2012] 에서 두 함수 f(x) = x² + 1 과 g(x) = x² 은 항상 f(x) ≥ g(x) 를 만족하지만, f(x)의 최소값 1 과 g(x)의 최대값 2012² 사이에는 당연히 (3)과 같은 관계가 성립하지 않습니다. 그리고 그래프를 통해서도 당연히 확인할 수 있고요.
결국 두 번째 문제의 풀이는 '우연히 맞아떨어진' 풀이일 뿐이지요. 왜냐하면 y = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x 가 최소가 되는 지점인 x = -1 에서 '너무나 우연하게도' y = k - 2sin(π/x2) 가 최대값을 갖고, (3)의 상황으로 환원되거든요.
아...ㅜㅜ진짜 감사합니다. ㅠㅠ완전 '아~~'이러면서 봤네요
그런데요 그러면 2번째 문제인 마플 345번 해설지에 보면요..(문과 미통기)
" f(x) = 3x^4 - 8x^3 - 6x^2 + 24x,
g(x)= k - 2sin(π/x2)라 하면 f(x)의 최솟값이 g(x)의 최댓값보다 크면 항상 성립한다. f'(x)=12(x-2)(x-1)(x+1)이므로, x=-1,1,2에서 극값을 가지므로, 증감표를 나타내면 ~~~, 따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극솟값 f(-1)=-19, x=1에서 극댓값 f(1)=13, x=2에서 극솟값 f(2)=8을 가지므로 최솟값은 f(-1)=-19이다.
g(x)는 ~~(싸인함수 범위)~~, g(-1)=k+2는 g(x)의 최댓값이다.
따라서 k+2<=-19이므로 k의 최댓값은 -21.
라고 되어있는데요... 그럼 이 풀이에는 오류가 있는 건가요??
정당화는 가능하지만, 논증 자체에는 오류가 있지요.
주어진 논증이 타당하지 않음을 확인해보려면, 문제를 조금만 바꿔봐도 됩니다. 예를 들어 g(x)가 g(x) = k + 2sin(π/x2) 로 주어졌다면, 더 이상 저런 논리가 성립하지 않고, 실제로 k = -17 이 가능한 k값의 최대값이 됩니다.
네 그렇군요!!!!!!