양자역학 칼럼_ 기초-이론체계 1
여기서는 양자역학을 이루는 기초체계를 알아보자.
1. 헤르미트 연산자(Hermitian Operator)
함수의 내적은 다음과 같이 정의 된다.
또한 분명히 다음의 성질을 만족할 것이다.
(여기서 *는 헤르미트 켤레를 의미)
이제 파동함수를 도입해 보자. 당연히 어떤 관측가능한 물리량의 평균값은 결정가능할 것이고,
다음과 같이 정의된다.
이는 얼핏보면 매우 간단해 보인다. 하지만 수학적 체계는 그러하지 않다. (결론적으로 물리적 체계는 간단해질 것이다.) 여러분들이 생각한것처럼 우리는 이 연산자의 평균치 만 알 수 있다. 왜?
당연하다. 연산자의 상태 자체를 미결정상태라고 보는것이다. 원래의 파동함수에 아무런 외적 변형을 가하지 않으면, 우리는 물질의 형태, 위치, 운동량 등을 결정 할 수 없다. 결정가능한 경우는 오직 파동함수가 무너졌을 때(The Collapsed Wave function)뿐이다. 아래그림을 보라.
위 그림은 붕괴되지 않은 상태의 파동함수이다. 보이다 시피 어디에서든지 존재할 수 있다. 반면 아래의 붕괴된 파동함수를 보라.
국소적인 경우에만 존재할 수 있다. 위치가 결정된 것이다. 하지만 운동량은 어떤가
파동함수의 기울기가 무한대로 가므로 운동량은 발산 함을 알 수 있다. 즉, 운동량과 위치를 동시에 잡을 수 없다. 이것이 그 유명한 위치-운동량 불확정성의 원리(하이젠베르크 불확정성)이다. 이것을 차근히 증명해 나갈 것이다.
다시 헤르미트 연산자로 돌아와라. 말하고자 하는 바는 결국 측정가능한 물리량은 실수값만을 가진다는 것이다. 즉, 다음과 같이 된다.
우리는 이런 성질을 만족하는 연산자를 헤르미트 연산자라 부른다.
2. 결정된 상태(Determined States)
이태까지 우리는 헤르미트연산자에 대하여 알아 보았다. 분명, 파동함수로는 위치를 비롯한 많은 물리량들이 보장되지는 않는다. 하지만, 유의하라!! 이것이 의미하는 것은 관측에 의한 '섭동'이 이루어 지지지 않으면, 위치/운동량 등의 물리량이 결정되지 않은 상태로 존재한다는 의미이지, 동일한 앙상블의 입자계가 같는 물리량이 변한다는 뜻이 아니다!
즉, 동일한 앙상블의 측정을 반복해서도 물리량들의 고윳값이 바뀌지는 않는다. 이것은 다음과 같이 기술된다.
이 값이 0이 된다. 이러한 상태를 우리는 '결정된 상태에 있다' 라고 하고 정해진 값 q를 고윳값(eigenvalue)라 한다. 그 상태방정식은 위의 식보다 더 간다하게,
라고 나타낸다. 이제 불확정성의 원리를 나타내어 보자.
3. 일반화된 불확정성 원리(The Uncertainty Principle)
앞에서 구했다 시피, 임의의 물리량의 분산은 다음과 같다.
여기서 새로운 함수 f 를 다음과 같이 정의 하자.그러면, 다음과 같은 식이 성립한다.
한편, 복소수의 기본성질을 이용하면 부등식을 더 간단히 할 수 있다.
이 형태의 식은 어쩌면 최종결과에 도달한 것처럼 보인다. 하지만 우리는 더 잘 할 수 있다. 위의 부등식을 연산자 A, B로 나타내보자. 한눈에 보기에 이것은 사태를 더 악화시키는 것처럼 보인다. 하지만 각 항들이 상쇠되어 더 간단해진다. 직접 시도해 보아라.
결론부터 제시하겠다. 다음의 교환자 관계를 가진다.
여기서 []는 교환자를 의미한다. (이 경우, 교환자에 질문이 있는 분은 따로 질문해 주시오)
일반화된 불확정성의 원리: 이제 A, B대신 위치와 운동량을 넣으면 우리가 아는 '위치-운동량 불확정성원리'를 얻는다. 시도해 보라.
여기서 가장 중요한 것은 등호성립조건, 즉, 최소불확정성 상태를 찾아내는 것이다. (최소불확정성을 가질 때, 파동함수는 어떤 형태의 함수를 가지겠는가?)
-맞추신 분에게는 칭찬을 드립니다.
이것으로 양자역학 기초과정 칼럼 1부를 마침니다.
예정
양자역학 칼럼 기초과정 1. 이론체계
2. 기본모델
3. 슈뢰딩거 방정식
중급과정 1. 시간에 무관한 섭동론(Time-Independent Purturbation Theory)
2. WKB 근사법
3. 시간에 관계있는 섭동론
4. 산란이론(Scattering Theory)
고급과정 1. 상대론적 양자역학-디랙의 방정식
-전자의 스핀자기모멘트와 g-factor
2. 제만효과(The Zeemann Effect)
질문은 언제나 환영입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
7모 미적분 백분위95이고 6모는 백분위 86이에요 실모같은거 풀면 항상 틀리는...
-
오늘확통ㅈㄴ틀림 0
자살할뻔 ㅇㅇ
-
그냥 새야지..
-
무잔이다!! 2
녀석은 목을 베어도 죽지 않아!!
-
뭔가 확신이 드네 나 잘 할 수 있을 것 같아 할 수 있다.
-
인문 예술사회 과학
-
갑자기 타임어택에 대한 부담감이 너무 커진거같아요… 생윤은 너무 좋은데 사문은...
-
고2 정시러 노베 국어 공부 어떻게 해야할까요?.. 0
진짜 국어 수업때 지적 안당하려고 눈만뜨고 딴곳 쳐다보기만한 수준이라 뭐부터...
-
고2이고 물화생지 내신 다 듣습니다. 1학기는 겨울 방학 때 다 돌리고 들어갔는데...
-
나도 의사하고싶아
-
음국어 문법 끝나면 한국사도 한강씩 드뤄볼까
-
다시 해보자. 2
렛츠고 예아
-
방법없남 ㅠㅠ
-
누웠는데 왜 아직도 못잤지ㅣ
-
수학 질문 5
19학년도 6모 21번 나 조건에서 x = 파이 미분가능성 판단 이렇게 해도 됨?
-
라고 적혀 있는데요? 그리고 등짝에 손바닥으로 맞은 상흔도 있고요.
-
뉴런 좋은가여? 2
최근 3개년 기출 + 학원 교재 풀고 있는데 뉴런도 같이 들으면 도움 많이 될까요?...
-
할 짓 없어서 초딩 때 살던 동네 로드뷰로 10년 전 맞춰서 보는데 그때 기억이...
-
얼버기 0
-
승리쌤 한수 주간지는 좀 빼줘라 매월매주승리 풀면 됐잖아..
-
이감 오프 시즌5 (응시반) 상상 오프 시즌4 (학원 택배) 한수 오프 파이널...
-
중학도형특강 0
정승제 선생님의 중학도형특강에서 교재가 필요한가요?
-
내일 일정 0
10시기상 12시~3시 여사친a랑 카페구경 4시~6시 여사친 b랑 노래방가기...
-
이거 하는데도 3~4시간 걸리거든요... 수2랑 미적은 어느 새월에 할까 싶어서...
-
ㅂㅅㅂㅅㅂㅅㅂㅅㅂㅅ
-
안녕하세요, 여러분의 꿈의 열쇠를 찾고 조여주는 사람들 [몽키스패너]입니다! *본...
-
비 안온다 돼있어도 날씨예보가 아예 무용지물이라 우산이 필수템됨
-
연대 공대 다니는 사람입니다. 수능 본지는 3년 정도 지나서 좀 괴리가 있습니다....
-
자작 문제 해설 1
피카 린델뢰프 정리 변수분리형 미분방정식은 초기값이 있으면 유일하므로...
-
요즘 알렌 특 2
허수들과 헝즈몽만 남음
-
모의고사에 들어갈 예정이었지만 푸는 과정에 교과외 과정이 들어가서배포합니다.
-
현 고2 정시파이터입니다. 국어 공부를 제대로 해본 적이 없습니다.. 국어 모고는...
-
1. 강의만 보고 따로 지문 뽑아서 써도 되나요? 2. 강의를 한번 보고 그이후...
-
이거 재밌습니다 2
제목에 이끌려 잠시 읽어봤는데 몰입도가 장난아닙니다. 작가님 필력에 감탄하고 갑니다.
-
ㅈㄱㄴ
-
어 뭐하지
-
이거 정보량이 어마어마 하던데 배경지식 쌓는데 나무위키 넘는 거 없을 듯
-
오야스미 2
네루!
-
요즘 근데 암 가족력 없다고 할만한 케이스는 드물지 않음? 0
걍 친척이든 윗세대든 암 걸린 사람 웬만하면 한 두명은 있던데
-
백분위 95.96요 언저리입니다ㅠㅠ 서바는 단과 다니고있어요
-
레어닉 들어와라 4
이 정도 닉네임이면 레어닉이라 생각해요
-
지금 메가 독학 다니는 중인데 꾸르륵 소리가 너무 스트레스라서ㅜㅜ 1인실 괜찮은...
-
좀 알려줘라 1
드디어 김승리 대기 풀려서 가는데 수업 뭐함?앱스키마만 하려나?수업방식 그런거랑...
-
둘 다 붙으면 어디감?
-
특별히 좋아하는게 없어서 힘들더라도 돈 많이버는 직종으로 가고싶습니다 회사 일도...
-
서킷 15회차 넘어가니까 전보다 확실히 문제난도 높아지는 느낌드는데 평가원 시험...
-
여르비 ㅇㅈ 2
감사합니다.
-
수학 점수가 잘 안 나오는 가형 이과 분들이 문과가 보는 수학 나형으로 가서 문과...
-
공통 12번 정도?의 난이도 되는 것 같습니다. 사관학교 문제가 재밌어서 그런...
그림은 Introduction to Quantum Mechanics, 2ed, David . J. Griffiths
수식은 LaTeX로 작성함
전공 물리쪽인데 하나도 못 알아먹겠당
양자가 3학년 편성이라 그런듯 싶습니다
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/006.gif)
님은 어떻게 아는거조과고라서 물올 겨울학교하면서 알게됐죠
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/014.gif)
대다네ㅋㅋ 별거 아니지만 좋게 봐주셔서 감사해요
문제2 제가 제시한 일반화된 불확정원리는 자명한 식일까요 아닐까요?
![](https://s3.orbi.kr/data/emoticons/oribi_animated/012.gif)
그만알아보자글제목 양지역학이에요
variational method랑 Ads/CFT도 있나요
학부과정만 한거라 나머지는 잘 모르겠습니다.
글쓴이님 goat 이시네요 ㄷㄷ;;
더 관심 있으신 분들은 여기를 참조하시면 됩니다.
https://horizon.kias.re.kr/archives/allarticles/naturalsciences/%eb%af%bf%ea%b8%b0-%ed%9e%98%eb%93%a0-%ec%96%91%ec%9e%90-incredible-quantum/
과학, 수학 등 다른 과목 관련 칼럼은 여기를 참조하시면 됩니다.
https://horizon.kias.re.kr/
카이스트 재학생입니다(인증가능합니다)
혹시 일본 대학 문제들은 직접 번역하시는건가요?
네 . 다만,바로번역하지 않고 조금더 스무스한 해석을 위해 제가먼저 풀어본 후 해석을 답니다.