벡터에서

심플한 반례를 생각해보죠. a = b = c = 1 인 경우, 즉 vOA + vOB + vOC = 0 이라고 합시다.

이때 질문하신 내용이 사실이라면 이 삼각형은 반드시 정삼각형밖에 될 수 없습니다.

그러나 실제로는 임의의 삼각형에 대하여 O를 그 삼각형의 무게중심으로 잡으면 항상 주어진 식이 성립합니다.

무게중심일경우는 왜 성립하죠?

무게중심의 정의로 보셔도 되고요, 아니면 실제로 물리학적인 정의대로 계산해보아도 그렇게 나옵니다. 구체적으로, 임의의 시점 O에 대하여, 삼각형 ABC의 무게중심 G는

vOG = (1/3)(vOA + vOB + vOC)

를 만족하는 점입니다. 따라서 O = G 로 두면 우변이 영벡터가 되지요.

얘기하신 부분은 내심에 대한 얘기가 됩니다. a:b:c=s1:s2:s3인데, 내심이라면 높이가 r로 같기때문에 BC : AC : AB 가 됩니다.

콘실크님 좀 더 자세한 설명 부탁드립니다. sos440님도요... 조금 다른 얘기를 하시는것 같은데

무게중심에서 각 점 A,B,C로 직선을 그어 삼각형이 3개로 쪼개지면, 이 세개의 삼각형은 넓이가 같습니다.
고로 a:b:c=1:1:1이 됩니다. (이게 sos님께서 하신 말입니다)

한편 내심에서 A,B,C로 직선을 그어 삼각형이 3개로 쪼개지면,
내심에서 삼각형의 세 선분까지의 거리는 내접원의 반지름 r로 같습니다.(이게 세 삼각형의 높이가 됩니다)
높이가 같은 삼각형들의 넓이비는 밑변길이의 비와 같게 됩니다.
고로 질문자님께서 하신 말처럼 BC : AC : AB = a : b : c 가 성립합니다.