벡터x공간 준 킬러 개념 총정리
기벡은 준킬러도
미적분 에 비해 상대적으로
같은 원리의 내용들이 반복 출제 되는 편이라
상대적으로 1.5등급 기준
29번급 이상 다뤄야 할 도구 분량이 많지 않음
이번 게시물에서는 간단한 방향 팁 위주로 정리
1등급 이상은
굳이 이번 특강 안들어와도
이 게시물 안에서 어느정도 정리 가능할거라 생각
1. 좌표 내적 각
우선 개념 부터 하나
공간은 축 설정 만
훈련 잘 해 두면 나중에 두고두고 편리
1)
두 평면 사이 각도는
두 법선사이 각
2)
H를 원점으로
E를 x축. G를 y축. D를 z축 방향 재설정 하면
삼각형 EDG의 법선으 세 축에 대칭 조건 이므로
(1.1.1) 방향을 가짐
나머지
사각형 평면도 같은 방식으로 법선 방향
비율만 구하면 되므로
(1. 루트3. 0)
내적으로 각
답 5번
14년 7월 축 설정
역시 뒤로 갈 수록
축 설정 능력 중요
역시 H원점으로
G. E. D 방향을 각 x. y. z 축 설정하면
아래 큰 삼각형 법선 방향은 (1. 1. 1)
위 작은 삼각형 (1. -1. 1) 이므로
cos 값 1/3
14년 수능
저번 최고난도 설문 때
질문 가장 많이 받았던 것 중 하나
벡터에서 최대 최소의 방향성은
워낙 많이 물어보기 때문에
풀이 과정 자체를 프레임화 시켜두면 편리
공간 에서
(PQ^2) - (양쪽 평면에 내린 두 정사영 ^2)
최대 이기 때문에
1)
방향성 부터 확인하면
PQ가 최대. 두개 정사영은 최소의 방향
2)
PQ의 길이는 실수배로 3개 값에
모두 k^2배의 역할을 하므로
무조건 지름이 되어야 함
이제 길이는 고정
정사영이 최소가 되는
방향만 확인하면 해결
3)
공간 최대최소는
평면화 확인이 우선
두 평면 사이 각 60도
교선에 대해 수직으로 자른 단면 안에서
PQ가 벗어나면 정사영이 최소가 될 수 없음
(예시 생각
- 기울어진 원을 바닥 평면에 내리면
두 평면 교선의 수직방향일 때 최소 평행 방향일 때 최대이므로
교선 방향에 수직할 수록 정사영 최소 방향)
4)
이제 두 평면에 수직으로 단면 잘라
평면화
5)
60도인 두 선분 안에서 두 정사영
즉 cos ^2 (a) + cos ^2 (120도-a) 의 최소이므로
코사인 제곱 그래프 익숙하면
60도 60도 대칭일 때 최소
바로 확인하거나
(두 함수값 합은 y값 중앙x 2배
그래프 위로 볼록 성질 이용)
각의 합차 공식 써 계산할 수 있음
(근데 어짜피 증명 안해봐도
세타와 120-세타 조건이 대칭이므로 중앙 아닌 값에서 극이 나올 수가 없음)
답 24
14년 10월 교육청 정사영 최소 방향
정사영 넓이 최소 인데
원본 면적이 정삼각형 고정이므로
각이 최대로 가파를 때 최소
OR을 Z에 붙였을 때 cos 값은
루트2 / 루트3
5. 수직 평면 벡터 내적
수직하는 두 평면 위의 벡터 내적은
두개 성분이 각각 0 교차로 곱해져서
0 + 0 + ... 형태 결과물 나옴
굳이 P의 방향을 잡으면
(0. sin. cos) 이고
Q는 y좌표가 0인
(?. 0. 1-cos) 이므로
두개 내적하면
0 + 0 + t(1-t)
1/2일때 최대 값 1/4
포인트는
수직 방향 성분 구할 필요 없음
마지막으로 한변의 길이가 4이므로
압축했던 4^2배 복원 해 주면
답은 4
6. 축 분해 연산
벡터 연산은 항상
축 먼저 분해
BA 벡터와 CE 벡터 핪은
z 값이 먼저 연산 되어 위아래로 대칭 0 이므로
두개 벡터
xy평면에 정사영 내려 평면화
삼각형 무게중심으로 가는 두 벡터의 합이 되는데
두 벡터 합 = 중앙 x 2배 이므로
2루트3 의 x 2배
제곱하면 답 12
공간 각 7 + 1
참고로 공간에서 각을 구하는 형태는 크게
위 7+1가지
눈으로 바로 안 보일 경우 우선순위 차례로 의심
사실 수학에서 이런식으로 풀이 프레임을 짜는 것은
별로 좋은 방법이 아님
만능 툴이라는게 19번 급 만 넘어가도
있지 않은경우도 많고
하지만
이과 삼각형 넓이 공식과
공간 각 정도는 워낙 갈래 길 많아서
나올 때 마다 한번 씩 정리해 두면
놓쳐 틀리는 경우 방지
8. 움직이는 상태 답 편한 값 넣기
1)
직선의 방향 성분 구해야 하는데
교과적 풀이는
방향이 원 모양 그리며 돌아가므로
(cos. sin. k) 형태이고
제곱 제곱 제곱 하면
앞이 상수가 되므로 xy 성분과 z 성분에 대한 비율 만 구하면 됨
2)
그런데 이런식으로 값이 돌아가는 상태에서 답이 나오려면
어떤 방향에서도 항상 같은 답으로 고정되어야 하므로
거꾸로 우리는 아무거나
가장 편한 값을 넣어도 답을 구할 수 있음
즉 yz 평면 위에 눌렀을 때
(0. 1. 루트3) 비율 일 때 값을 넣어도 답이 나와야 하므로
z = 1이 되도록 비율 조정 해주면
답 2번
9. 원 동점 축 설정
많은 공간 준킬러 들이
축 설정만 잘 해줘도
반은 해결
H가 원 위에서 움직이므로
E를 원점 잡고
A 방향 G방향 각각 x. y축 설정하면
H(cos. sin. 0) 이므로
F와 B 좌표 잡아서 내적
10. 벡터 대칭 확인
벡터 값을 3개 이상 더하는 문항은
뭔가 대칭으로 지워지거나 연산이 된다는 얘기
(출제자 입장에서
굳이 4개 5개를 다 구해 더하는 문항을 낼 필요 없으니까..)
위 같은경우
팔각기둥 무게중심 중앙에 모든 점이 대칭이므로
P-(무게중심) 거리 x 16배
답 48
혹은
공간에서 대칭 잘 안 보이면
두개 씩 묶어서
A3 + B7 = 중앙 x 2배
...
이런식으로 8 쌍 합 = 16개
2.
강남 오르비 5월 수업은
5월 4. 11. 18일 토요일
[1.5 - 2등급]을 위한
29번 준킬러 총정리를 통한
공간 x 기하 벡터 도구 개념 완성 3주 특강
입니다.
2등급 이상 기벡 내용이
어느정도 한정적이다 보니
위 게시물 내용과 수업도
많이 다르지 않을 것 같아요ㅎㅎ
아무래도 저번달
[1등급] 미적 킬러와 비교하면
상대적으로
기출 킬러 자체의 난이도도
낮게 출제되는 편이어서
공간 방정식 도구 총정리 라던지
기반 개념 및 원리 총정리도
어느정도 함께 진행 예정입니다:)
수강
5월 3주 완성 19만원
교재
절대수학 백귀야행
벡터 공간
6000원
https://forms.gle/BEG25FMtx4Z6HnTP7
문의
강남 오르비 02-522-0207
3.
5월 6일(어린이날 대체휴일)
오르비 통합 입시설명회
한강의 흐름 님. Shean T님, SSB T님
저를 포함하여
국. 영. 수 + 입시 전략 내용 준비되어 있으니
많은 참석 부탁드립니다:)
참고로 저는
요 내용 관련 준비
https://academy.orbi.kr/event/19
강남X신촌 오르비 친절한 입시 설명회
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첫번째 문제에서 왜 사각형 법선벡터가 1.루트3.0 인가요?
법선은 아무거나 가장 편한 방향만 잡으면 되니까
HJ중점 에서 G까지로 잡으면
60도 짜리 닮음 방향이므로 1:루트3이요:)
아 비율만으로 해도 되는거군요!!
감사합니다!!
네 각도는 방향이라 항상 가장 좋은 크기 가장 좋은 위치로ㅎㅎ
잘읽었습니다 ㅎㅎ 근데
9번에 H가 원위에서 움직인다는 P오타 맞죠..?
좌표잡는풀이 잘 안하다보니 축설정 법벡설정은 잘 안썼는데 많이 유용하겠네요 감사합니다
헐.. 문제 그림이 훼이크를
저도 첨에 그렇게 봣어요 ㅔㅋㅋ
아니 형..진짜.........
컨셉 무엇ㅋㅋ
멋있습니다.
와드
5번에 cq벡터의 z성분이 1-cos으로 잡히는지 이해가 가질 않네요. 그냥 -cos 아닌가요?