적분)) 매개변수로 나타내어진 곡선의 넓이, 이거 출제된 적 있나요?
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정석으로 적분 공부하고 있는데
"매개변수로 나타내어진 곡선의 넓이"
이거 도통 모르겠네요 ㅋㅋㅋ
매개변수를 소거하지 않고는 못 풀겠는데요;;;
x=f(Θ), y=g(Θ), f(α)=a, f(β)=b일 때
∫ ydx = ∫ g(Θ)f'(Θ)dΘ 을 이용해 풀던데
특히 가장 어려운 점이
x로 적분할 때의 적분구간과
Θ로 적분할 때의 적분구간에서
아래끝과 위끝이 어떻게 대응되는 지도 모르겠고...
이거 출제된 적 있나요? 출제될 수 있을까요?
지금 교과서가 없어서 모르겠는데, 교과서에 있는 내용인가요?
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적분이란 건 결국 높이가 y이고 폭이 Δx 인 사각형들의 합입니다. 그런 센스로 생각해보면, 그 사각형들의 넓이를 굳이 x축의 구간을 n등분한 것에 대해서만 생각할 필요가 없죠. 어떤 변수를 기준으로 잡아서 쪼개든간에, 그 합이 실제 넓이를 잘 근사하기만 하면 모든 것이 용서됩니다. 그래서 나온 것이 질문하신 식입니다. 그러니 두 식은 결국 같은 본질을 담고 있고, 동일한 그래프에 대한 이야기일 뿐입니다.
이를 공식으로 생각하지 마시고 항상 우리가 무엇을 적분하고 있는지를 꼭 그림으로 체크해보세요. 그러면 모든 것은 단지 당연하고 자명해집니다.
구체적으로, x가 a에서 b까지 변하려면 θ가 α에서 β까지 변해야 하고, 따라서 두 번째 적분의 적분범위는 α에서 β까지입니다.
한편 이는 x = f(θ) 라는 치환에 대한 치환적분으로 생각할 수도 있습니다. 뭐 사실 다 같은 이야기긴 하지만요...
x-y평면에서 C(t)=(f(t),g(t))로 주어져 있다면 인테그랄 ydx (x는 f(ti)에서 f(tf) 까지)가 넓이이고
dx=f'(t)dt 이므로 인테그랄 ydx =인테그랄 (t는 ti에서 tf까지) g(t)*f'(t)dt가 되고 결국 이거 구하면 됨
폐곡선일경우는 풀이가 다양하죠 ㅋ