e^ax sinbx 함수의 부정적분 구하는 방법과 그 확장(선형대수학을 이용한 적분방법)
게시글 주소: https://image.orbi.kr/000201922
보통 이 적분은 부분적분법을 써서 구하는 방법이 일반적입니다.
그런데 다음과 같이 이 함수를 직접 적분하지 않고 부정적분을 구하는 방법이 있습니다.
e^ax sinbx를 먼저 미분해보죠.
e^ax(asinbx+bcosbx) 가 되겠죠? 이번엔 e^ax cosbx를 미분해봅시다.
e^ax(acosbx-bsinbx) 네요?
아하! 둘다 sinbx, cosbx를 가지고 있네요! 그렇다면 이것들을 적당한 수를 곱해서 더해주면 e^ax sinbx를 얻을 수 있을겁니다.
그러니까,
e^ax(Asinbx+Bcosbx)를 미분한 식이 e^ax sinbx가 되는 A, B를 찾을 수 있다는 겁니다.
음 위 식의 도함수는 e^ax { (aA -bB)sinbx + (aB+bA)cosbx } 이니까 이것이 e^ax sinbx와 같기 위해서는,
aA-bB=1, aB+bA=0이어야 합니다. 이건 일차방정식이죠.
(a -b)(A)=(1)
(b a)(B) (0)
(괄호가 위아래로 이어져있습니다.)
그럼 위 행렬의 역행렬을 구해서 양변에 곱해주면 A, B를 구할 수 있어요
그 값은 A=a/(a^2+b^2), B=-b/(a^2+b^2) 겠죠? 한편 e^axcosbx는 위 일차방정식의 우변 벡터가 0, 1인 경우니까 이 경우에는 A=b/(a^2+b^2), B=a/(a^2+b^2)가 됩니다.
따라서 e^ax sinbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (asinbx-bcosbx)입니다. 그리고 e^ax cosbx의 부정적분은 e^ax/(a^2+b^2) * (bsinbx+acosbx)입니다.
적분을 미분을 통해서 구한셈이죠.
e^ax sinbx coscx 라는 복잡한 함수의 적분을 구할 때에도 위와 같은 방법을 이용할 수 있습니다.
이때는 물론 4*4행렬의 역행렬을 구해야 겠죠.
원리가 궁금하신분들은 아래 내용을 참조하세요.
이 글의 요지는 sin, cos, exponential의 x의 계수가 서로 다른 일차곱으로 이루어진 함수는 선형대수학을 이용하면 얼마든지 부정적분을 구할 수 있다는 이야깁니다.
미분은 선형사상입니다. 한편 선형사상f의 image에 있는 원소 b의 역상은 f(a)=b인 a에 대해 a+Ker(f) 입니다. 우리가 부정적분을 하는 과정은 바로 a를 구하는 과정이었죠. (미분 operator의 kernel은 상수함수이므로 a+Ker(f)는 부정적분 + 적분상수가 되는 것입니다)
위 적분법의 아이디어는 T-invariant subspace(사상 T에 대해 불변인 부분공간)의 개념을 응용한 것입니다.
exponential, cos, sin과 같은 함수의 곱들을 기저로 갖는 벡터공간을 생각하자는 겁니다. 얘네들은 미분을 해도 결국엔 같은 집합에 속하기 마련이죠. 이 부분공간안에서 미분사상은 다름아닌 bijection이 됩니다. (1이 기저로 있지 않으므로 상수함수가 이 공간안에 존재할 수 없고, 따라서 미분함수는 injection. surjective는, dimension이 같으므로...) 종합하자면 미분사상이 기저를 어디로 보내는지를 통해서 "가역"행렬을 직접 구할 수 있으므로 원하는 함수의 부정적분을 역행렬을 곱해서 구할 수 있다는 이야기입니다.
여기서 질문(ㅋㅋㅋ...)
역행렬을 어떻게하면 쉽게 구할 수 있을까요?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
미쳤음 진짜 도른듯.. 겨울엔 더워서 죽을거 같아도 반팔 입으며 버텼는데 여름엔...
-
존나어렵네 시발 나머지회차는 음 좀 어렵긴한데 할만은 하네 ㄱㅊ네정도인데 5회는 개씨발임
-
수시특) 3
1점대 중반~2점대 초반이 젤 갈대학없음
-
드릴 정답률 3
드릴은 한권당 2~3개 밖에 안틀리는데 실모는 왜 한시험지에 2개씩 틀림? 현타오네
-
물지 1
하자~ 화생 동시선택 하지 말자~
-
윤도영t 키큼? 1
누군 177이라그러고 (대게 키좀 작은 여자애들이 하는 말이라 신뢰 안가긴함) 누군...
-
듣고있는데 대가리가 깨질것같아요.ㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜㅜ 좀 더 쉽게 와닿는 강의 없을까요?
-
1점 후반대가 수능최저 맞추면 의대간다는 미친소리를 친구들이 하고 있는데 이게...
-
영단어 하루에 3~40개?(지문발췌)외우는데 구라안치고 5억년걸림 영겁의시간이걸림...
-
① 종이에 자신의 생년월일의 8개 숫자를 적으세요. ② 적은 8개의 숫자들로 만들...
-
걍 2학기만 안다니고 망하면 내년 1학기에 다시복학하려면 여기서 뭐 선택해야됌??
-
35421 45422 34?23 64 10 8 12 36 17 133 22411?...
-
ㅈㄱㄴ 1단원내용 알아야 2, 3단원 알수있고 그런거
-
비가 좀 더왔으면 좋겠어
-
"사립대 등록금, 사립 초중고보다 낮은 수준…자율화 필요" 3
사총협, '학교급별 사립학교 교육비 현황 분석' 보고서 발간 (서울=연합뉴스)...
-
답 뭐나오셨나요..
-
고2 모고 국어 5~6, 영어 3~4정도 나오는 노베고 수시몰빵 수시러에요...
-
다음주부터 고3과외를 시작했는데 이 친구가 미적분에서 미분까지만 개념을 끝냈어요...
-
중딩때 영어캠프에서 만난앤데 아이돌데뷔햇더라고요 나무위키도 검색하면 나왔었는데...
-
뭐땜시 누굴 고소한 겨 ㄷㄷ
-
그럼요. 3
우리 국제 결혼도 해요 ㅎㅎ
-
7투스 17
실수2개해서 수학 84인데 보정1컷뜰까요.. 아물론 다들게시글에 보이는답으로...
-
막전위, 근수축, 유전 이부분들 빼고 나머지는 인강 들어야할 필요있음? 아님 완자로...
-
7투스 6
나만 영어 어려웠나 ㅅㅂ
-
1. 가산점 없어짐 ->문과 최상위권의 지원 참전 2. 작년 펑크로 인한 과소 평가
-
대인라 끊고 0
번장 장기거래나 하기로 햇다 솔직히 28이면 강k에 모의반 서바까지 구해볼 만 할...
-
허허...
-
지역인재 치대 7
작년 막차가 1.49인데 제가 1.56이면 지원할만 하다고 보시나요 입시 분석...
-
어떻게 생각하시나요..? 새내기인데 수험생활때 목표가 오직 메디컬이었어서 미련이...
-
6모영어 3
오늘 6모 풀어본 중3인데요,,,,,, 원래는 그래도 꾸준히 턱걸이 1등급...
-
ㅇㅇ. 체감상 변동이 적은거 같음. 항상 1등급컷은 80점 초중반 부터, 70점...
-
정부 "의대 교수 '수련 보이콧', 헌법·인권적 가치에 반해"(종합) 1
"병원, 전공의 성실히 수련 의무 가져…보이콧 가시화되면 법적조치 검토" "사직 후...
-
답변 오네가이
-
주체높임의 한 종류인가요? 아니면 따로 주체객체 상관없이 직접높임과 간접 높임으로...
-
마닳 질문 2
마닳이랑 그냥 일반 기출이랑 차이가 뭔가요??
-
급하게 풀었... 그나저나 분명 쉬웠는데 여기서 커리어 로우가 떠버리네...
-
그냥 문이과 통합도 맘에 안 듦 범위를 조정하든지 해서 통사 통과 중 선택해서...
-
지금까지는 그냥 하고싶은거 했는데 보통 독서 문학 비율을 어떻게 하시나요? 격일로...
-
전공의들, 수련 대신 개원가로…"미용은 면접 보기도 어려워" 4
사직 전공의들, 9월 하반기 전공의 모집 '무관심' 기색 역력 "페이 반토막 난 것...
-
딱 이틀 되니까 뒤지네 ㅠㅠ
-
미적 28번은 찍맞했구 다른건 다 풀맞입니다 미적을 솔직히 공부를 많이 안해서...
-
언매미적생1지1이고 6모가 33343 이엿는데요 공부를 3월달에 시작한거라 지금은...
-
2025학년도 공리주의자 모의평가 1회 다운로드 링크...
-
국어 > [리트 전개년 기출 언어이해] 예비 2009 19~21 > [리트 전개년...
-
연세대가 연희세브란스대인건 오늘 처음알았네
-
드랍하고 드릴 남은거랑 설맞이 넘어갈까요 하프모라 해서 슴슴할때 풀려고 샀는데 너무...
-
조용한건가
슈뢰딩거님답게
수리 게시판에는 금지된 수학문제 질문이 아닌 글을 쓰시면서
또 수학적으로 좋은 글을 써주셨군요!
제가 방금전에 이 문제가지고 다시 생각해봤는데
cos,sin 함수들이 n번 곱해진 함수공간에서의 미분행렬을 점화식으로 찾은것 같아요!
먼저 위의 삼각함수들이 n번 곱해진 함수공간(이걸 n-TFP space(n-삼각함수곱공간)라고 부를게요 편의상...)의 기저는 2^n개입니다. 이 기저의 순서를 잘 매겨서 {v_i,n}이라 합시다. 그리고 x의 계수들을 r_i로 매길게요.
그러면 이제 n+1-TFP space의 기저를 잡는 방법이 문제가 되는데,
v_i,n+1=v_i,n*sin(r_n+1x) (i<=2^n 일때)
v_i,n+1=v_i-2^n,n*cos(r_n+1x) (i>2^n 일때)로 정의하면,
T_n(n-TFP space에서의 미분사상)에 대해서
T_n+1(v_i,n+1)=(T_nv_i,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i+2^n,n+1 (i<=2^n 일때)
=(T_nv_i-2^n,n)sin(r_n+1x)+r_n+1v_i-2^n,n+1 (i>2^n)가 됩니다.
따라서 n에 관한 미분행렬 T의 점화식을 다음과 같이 얻습니다.
T_n+1= T_n -r_n+1*I_n(n by n 항등행렬)
r_n+1*I_n T_n
역행렬 점화식 까지 찾아냈다면 더 기분좋을 것 같은데 생각대로 안되네요 그건...
차라리 삼각함수 덧셈정리를 n번 써서 전개 하는게 나으려나 -_-...
T_2 구해서 sinaxsinbx 시험삼아 적분해봤더니 -a/(a^2-b^2)cosaxsinbx +b/(a^2-b^2)sinaxcosbx 가 나오네요