함수 y=|x|의 도함수?

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아시다시피 도함수는, 그저 어떤 식에 x=a값을 대입해주었을 때 그에서의 미분계수를 뱉어내는 그 '다항식'을 말하는 것이 아니고, 정의역의 원소에 대해 그에 대한 미분계수를 대응시키는 '함수'입니다.

교과서에서는 도함수를 정의할 때,
함수 f(x)가 (그의) 정의역에서 미분가능하면 정의역에 속하는 모든x에 대하여 미분계수 f'(x)를 대응시키는 함수가 존재하며, 그것을 도함수라 한다 …ⓐ
고 서술하고 있습니다.

그런데 문제는, 명제ⓐ의 '이'명제인
'함수 f(x)가 그의 정의역내의 일부x에 대해서 미분계수를 대응시키지 못하면, f(x)의 도함수는 존재하지 않는다' 와,
명제ⓐ의 '이'명제의 부정인
'함수 f(x)가 그의 정의역내의 일부x에 대해서 미분계수를 대응시키지 못해도, f(x)의 도함수는 존재할 수 있다.' 중 무엇이 옳은 판단일지 단언하기는 곤란한 상황입니다.
분명히, '배중률(서로 부정인 두 명제중 하나는 반드시 참)'에 근거하면 둘 중 하나는 반드시 옳은 서술일텐데, 그것이 무엇인지 알 수가 없군요.

실제로 예를들어, 함수 y=|x|와 같은경우, x<0,x>0에서 각각 -1,1로 미분계수가 대응되지만, 함수 f(x)의 정의역에 속하는 원소인 x=0에서는 미분계수가 대응되지 않습니다.
이런 경우 y=|x|은 도함수를 가진다, 혹은 가지지 않는다 라고 단정지어 말하기는 곤란하다는것이지요.

혹자는 이렇게 설명하더군요.
'y=|x|의 도함수는 실제로 존재하며, 그것은 (위에서 말한것처럼) x<0,x>0에서 각각 -1,1로 미분계수를 대응시키는 함수이다.
분명히 x=0은 함수 f(x)의 정의역의 원소이지만, 정의역구간을 줄여주어 그 줄여준 구간내에서 도함수가 존재한다고 말할 수 있다.' 라고.

엄연히 함수 f(x)의 정의역이 실수전체의 집합으로 정해져 있음에도 불구하고 이것을 임의대로 조절하는것은 불가능해보일뿐더러,
만약 함수 y=|x|의 정의역에서 x=0를 제외한다고 해도,
x=0에서 불연속이므로 함수 y=|x|(x≠0)은 불연속인함수입니다.
불연속인함수는 미분가능한 함수가 아닙니다.('미분가능->연속'의 대우명제에 의해)
다시 처음으로 돌아왔네요.

어떻게 생각하시나요.

미분계수가 존재하지 않는점을 포함한 함수의 도함수를 구할수가 있을까요.

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(바퀴)벌레사냥꾼 · 251373 · 11/10/30 10:00 · MS 2008

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Intuition · 245411 · 11/10/30 10:25 · MS 2008

애매모호한것을 구하고 싶은 마음은 이해합니다만,굳이 왜 그렇게해야하나요? 그냥 특이점빼버리고 미분가능하다고두고 이용하기 편한데로 쓰면되는것아닌가요?

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wnsrnek3 · 375420 · 11/10/30 11:17 · MS 2011

굳이 왜 그렇게 해야하는지에대한 물음은 아주 좋습니다..ㅠㅠ

(구간별로식이다르게주어진함수에대해서 경계점에서의) 미분가능성을 따질때 기본적으로 미분계수의 정의(좌미계=우미계)를 사용합니다.
그런데, M사의 S선생님은 왼(a)=오(a), 왼'(a)=오'(a)가 만족하면 x=a에서 미분가능하다고 판별하더군요(구간을기준으로왼쪽함수에a대입한값=오른쪽함수에a대입한값, 왼쪽함수미분한함수에대해a대입한값=오른쪽함수미분한함수에대해a대입한값).
구간별로 다항함수식이 주어진다면 그때는 경계점에서 문제는 대개 발생하지 않습니다.
하지만 이는 다항함수와 그의 도함수가 연속이기에 가능한 것입니다.
다항함수가 아닌 함수가 주어질경우 그 점에서의 미분가능성을 알아보기 위해 좌미계=우미계를 쓰는대신 또 어떤방법을 사용할수 있을까. 어떤 방법을 사용할수 있다면 그방법을 사용할수 있는 함수는 어디까지이며, 그렇지 못한 함수는 왜 그렇지 못한 것일까가 무척궁금해지더군요.
그렇게 알아보던중 도함수의 연속성여부가 가장 중요하다는것을 '대충' 알게 되었지요.
우리는 함수 x^2sin1/x(x≠0),0(x=0)…ⓐ와같은 함수를 '은근히' 잘 알고있습니다.
왜냐하면 이는, 도함수가 반드시 연속함수냐에 대한 물음에 대한 답으로 반드시 그렇지는 않다며 아주 빈번하게 사용되는 반례이기 때문입니다.
그렇다는것은 도함수는 불연속이어도 된다(불연속점을 가질수 있다)는것인데,
그렇다면 '#학습#수리 게시판에 제가 올린 미분개념확인문제의 ㄷ과같은 개형의 함수'도 불연속이지만 값은 다 대응되니깐 도함수가 될수 있지 않냐고 생각하던 도중 모순상황을 맞이하게됩니다. 어떤 미분가능한 함수 f(x)가 x=a에서 극값을 가질경우 f'(a)=0를 만족시키지 않는 경우가 되기 때문입니다. 이 모순이 어디서 나왔는지 골똘히 생각해보다가 교과서서술이 절대적으로 옳다는 가정하에 지금과같은상황은 교과서라는 절대진리에 모순이므로 이러한 함수는 도함수가 될수 없다는 것을 감으로는 느끼게 되었습니다. 그러던 도중 '어떤 분'의 큰 도움을 받아 앞서말한 'ㄷ과같은함수'는 도함수가 될수 없다는 것을 논리적으로 정확하게 알게 되었습니다. 이는 Darboux's Theorem 이라는 정리를 만족시키지 못하기 때문이었습니다. 이 정리는 도함수가 반드시 가져야 하는 성질을 보이는 정리인데, 간단히말해 미분가능한구간에서는 연속성여부에 관계없이 중간값성질을 만족시킨다는 것이죠. x=a의 근방에서 이 함수는 중간값성질을 만족시키지 못하므로 이는 도함수가 될 수 없다는 결론을 내릴 수 있게 되었습니다.

그렇게 저는 도함수는 불연속일수 있으며, 도약불연속점을 갖는 함수는 절대로 불연속일수 없다는 결론을 도출해 내었습니다.

그런데 여기서 문제가 발생합니다.
함수 y=|x|의 미분계수를 대응시키는 함수는 x=0에서 도약불연속점을 갖지만, 수학적으로 은근히 저명한 사람들마저도 함수 y=|x|의 도함수가 존재한다고 합니다.
또한 도함수의 정의에 대한 교과서서술만으로는 y=|x|가 도함수를 갖지 않는 함수라는 것을 보일수가 없으며, Darboux's Theorem은 미분가능한구간에서만 사용가능하기에 지금은 이를 사용할수 없습니다!
그렇게 도약불연속점을갖는 함수인 y=|x|의 도함수존재성과 불연속도함수의 범위는 미궁에 빠지게 된 것입니다...-.-

도함수의 연속성에 대해서 고찰하던 중, 궁극적으로는 불연속점을 갖는 도함수의 범위를 정확하게 설정하기 위해서 여기까지 오게 된것이라 볼 수 있겠네요.

후우.....암....

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Intuition · 245411 · 11/10/30 11:28 · MS 2008

엄밀하게는 도함수가 존재하지않는함수겠지요 전구간에서 미분가능한함수일때 도함수를정의해서 갖다쓰는것이니깐요.고로 저건 전구가미분가능함수는 아닙니다 다만 이용에있어서 는 구간별로 나눠서 하면되는것같더라구요..제가아직1학년이라서 그런건지 지금 배우는것도 세세한거보단 주로 주어진condition을 잘 활용만하면 되더라구요...

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수호리구 · 379251 · 11/10/30 11:07

도함수가 존재하지 않는다고 말하는게 맞습니다. 평가원 기출문제 (06 수능) 을 참고하시면 됩니다.
'연속함수 f(x)에 대해 |x|!=1 인 모든 x의 값에 대하여 미분계수 f'(x)가 ~~이다' 라고 말하고 있지,
절대로 '연속함수 f(x)의 도함수 f'(x) 가 ~~이다'라고 말하고 있지 않습니다.

즉, 미분가능하지 않은 함수에 대해서는 도함수가 존재하지 않는 것이고,
특정 x를 제외하고 나머지에서는 미분 가능한 함수에 대해서는 '미분계수' 만을 이야기할 수 있는 것이죠.

이를 통해 f'(x)가 도함수라는 뜻으로도 쓰일 수 있고, 미분계수라는 뜻으로 쓰일 수 있음을 알 수 있기도 하구요..

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wnsrnek3 · 375420 · 11/10/30 11:17 · MS 2011

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sos440 · 104180 · 11/10/30 11:23 · MS 2005

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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sos440 · 104180 · 11/10/30 11:29 · MS 2005

'p이면 q이다'라는 표현이 명제를 가리킬 때에는 분명 p→q 라는 상황을 나타냅니다.

하지만 수학사적으로 굳어진 관습적인 예외로서, 정의문에서 등장하는 'p이면 q이다'는 p↔q를 뜻합니다. 왜냐하면 애초에 정의라는 것은 p라는 것을 q로 정의하거나 q라는 것을 p로 정의하는 식의 문장이기 때문입니다.

예를 들어서, 교과서에 보면 아마 다음과 비슷한 정의가 있을 겁니다.

Definition. 함수 f가 정의역 위의 모든 점에서 미분가능하면, 함수 f가 미분가능하다고 한다.

이 문장은 말 그대로 q = [f가 미분가능하다] 라는 개념을 정의하는 문장이며, 따라서 p = [f가 정의역 위의 모든 점에서 미분가능하다]와 q는 '필요충분조건'이 됩니다.

그런 의미에서 실수 전체에서 정의된 함수 f(x) = |x| 는 미분불가능한 함수입니다.

그러나 경우에 따라서 한 점에서라도 미분이 안 되면 패망하는 경우가 있고, 반대로 아무리 많은 점에서 미분이 불가능해도 나머지 거의 모든 점에서 미분이 가능하기만 하면 의미있는 경우가 있습니다.

특히 후자의 경우는 적분과 밀접한 연관을 갖는데, 적분은 적분되는 함수의 함수값을 유한개의 지점에서 바꾸거나, 심지어 특정 조건을 만족시키면서 무한히 많은 곳의 점의 값을 바꾸어도 그 결과값이 바뀌지 않기 때문입니다.

달리 말하자면, 하나의 함수가 특정 값을 특정 값으로 보내는 상황을 관찰한다기보다, 함수 하나하나를 대상으로 보고 이 대상들이 이루는 구조를 봐야 하는 경우가 있습니다. 위의 관찰은 이러한 관점에서 미분가능성을 살펴보는 것은 상당히 유용하다는 것을 의미하지요.

이 경우 거의 모든 점에서 미분 가능하다(almost everywhere differentiable)는 식의 이야기를 할 수 있습니다. 그런 의미에서, f(x) = |x|는 매우 좋은 함수에 속합니다. f'(x) = x/|x| 가 거의 모든 점 (사실 0이 아닌 모든 x) 에서 존재하며, 이 함수를 적분하면 다시 f(x) = |x| 를 얻을 수 있습니다.

다른 관점으로는 distribution sense에서 미분을 가바라본 weak derivative같은 개념 등 여러가지 관점 등 여러가지 관점이 있습니다. 뭐 하나같이 고등학교 과정이 아니긴 하지만 말이지요...

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wnsrnek3 · 375420 · 11/10/30 11:46 · MS 2011

수학사적으로 굳어진 관습적 예외라....
저도 절실히 그렇게 결론을 내리고 싶으나, '교과서의' 명제와 집합단원에서 배운 내용이 자꾸 제 발목을 놔주질 않네요.
p->q라는 명제를, 그것이 정의를 내릴 때에 사용되고 있다고 해서 p<->q로 봐야한다....
라는것이...
논리적수식없이 그냥 '관습적이니깐' 필요충분조건이라고 타협해서 생각하기가...싫네요....
싫어요...아직 제머릿속에는 '교과서서술=절대진리'라는 인식이 지하 100층까지 깊게 박혀있거든요...;

하아...

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sos440 · 104180 · 11/10/30 11:51 · MS 2005

뭐랄까, 정의문에서 if and only if 를 그냥 줄여서 if 로 적는 것을 제가 관습이라고 적었지만, 사실 명시하지 않았을 뿐이지 모든 수학 서적에서 사용하는 공식적인 용법입니다. 여기서 우리는 수학자들의 투철한 절약정신을 엿볼 수 있지요. 어색한 관습으로 생각하시지 마시고, 절약이라고 생각하세요.

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