로피탈의 정리 엄밀한 사용조건(로마넘님,포카칩님,난만한님 등 수리고수님들 도움좀여)

좋아요 해놓고 답안해주는분들 뭐임ㅠㅠ

1. "로피탈의 정리를 사용하지 않아도", f(x)가 x=a에서 미분가능하다는 것과 미분계수의 정의에 의해, 주어진 극한은 f'(a)와 같아집니다.

2. "로피탈의 정리를 사용하지 않아도", f(x)가 x=a^2 + a에서 미분가능하다는 것, x^2 + x가 x=a에서 미분가능하다는 것, 미분계수의 정의, 합성함수의 미분법에 의해, 주어진 극한을 '합성함수의 미분', 즉 '미분계수의 곱'으로 해석할 수 있고, 이에 따라 극한값을 구할 수 있습니다.

3. lim_(x->a) f(x)/g(x)를 구하고자 할 때, 주어진 극한이 0/0 꼴이고, f(x)와 g(x)가 x=a를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고, 극한값 lim_(x->a) f'(x)/g'(x)가 존재하고 그 값이 L이면, 우리가 구하고자 하는 극한값 lim_(x->a) f(x)/g(x)도 L이라는 것이 로피탈의 정리입니다. 따라서 로피탈의 정리를 위 문제 1, 2에 적용하기 위한 전제조건은 각각 f(x)가 x=a를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능, f(x^2 + x)가 x=a를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능입니다.

왜 로피탈의 정리에 "...를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능"이 포함되냐 하면, 로피탈의 정리를 증명하는 과정에서 '평균값의 정리'의 확장판이 적용되기 때문입니다.

그런데, 위 문제를 푸는 데에는 f(x)가 x=a에서 미분가능한 것, f(x^2 + x)가 x=a에서 미분가능한 것으로 충분합니다. 다시 그 이유를 말하자면, 첫번째 극한은 f(x)의 x=a에서의 미분계수, 두번째 극한은 f(x^2 + x)의 x=a에서의 미분계수이기 때문입니다.

오오 한수 감사요. 뭐를 잘못얘기한지 이해했네요.

정리하자면 로피탈의 정리의 사용조건은 "극한식에 있는 각각의 함수들이...를 포함하는 어떤구간에서의 미분가능"이죠?

근데 "극한식 안에서의 각각의 함수들이 ...에서 미분가능은 안되나요?

근데 예를들어서
lim_(x->a) f(x)-g(x)/h(x) 를 구하고자할때(주어진 극한이 0/0 or 무한대/무한대꼴)

f(x),g(x),h(x)각각이 x=a를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능해야되나요
or
f(x)-g(x)와 h(x) 가 x=a를 포함하는 어떤구간에서 미분가능해야되나요?

이걸 물어보려고한게 질문설정을 잘못했네요 아마도 전자쪽이 맞겠죠?

아닙니다. f(x)-g(x), h(x)가 미분가능해야 합니다.

로피탈의 정리는, "정확하게 제가 쓴 것 그대로"입니다. 다시 적어 보면,

lim_(x->a) A(x)/B(x)를 구하고자 할 때, 주어진 극한이 0/0 꼴이고, A(x)와 B(x)가 x=a를 포함하는 어떤 구간에서 미분가능하고, 극한값 lim_(x->a) A'(x)/B'(x)가 존재하고 그 값이 L이면, 우리가 구하고자 하는 극한값 lim_(x->a) A(x)/B(x)도 L이라는 것이 로피탈의 정리입니다.

f(x)-g(x) / h(x)에 로피탈의 정리를 적용하려면, f(x)-g(x)를 A(x), h(x)를 B(x)로 "본 다음" 로피탈의 정리를 적용해야 합니다. 따라서 f(x)-g(x)가 미분가능한 것만으로 충분합니다. 물론, f(x)와 g(x) 각각이 미분가능하면 당연히 f(x)-g(x)도 미분가능하긴 합니다.

아 그렇군요 답변 진짜 감사합니다.

이제 로피탈 맘놓고 막써야겠네요ㅎㅎ

그런데 1번, 2번 문제를 푸는 데는 로피탈의 정리가 필요하지 않아요. 1,2번을 로피탈의 정리로 푸는 것은, 직사각형의 면적을 구하려고 적분을 사용하는 것과 같은 수준입니다.

추가적으로 말하자면, 수학적 문장은 "정확하게" 읽어야 합니다. 위에 쓴 로피탈의 정리를 읽어보면, "분모 전체"와 "분자 전체"에 대해서 이야기할 뿐, 분모나 분자를 이루는 각각의 함수에 대해서는 한 마디도 없습니다.

네 1,2번문제 잘못물었어요;;

예전에 진짜 이상한선생이 로피탈의 사용조건 물어봤을때
분모와 분자를 이루는 각각의 함수 라는듯이 설명흐지부지해줘서
당연히 그런걸로알고있었네요

지금이라도 제대로 아니까 다행이네요.
감사합니다ㅎㅎ