@dasfsdafsdf 님, 풀이입니다.
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뭐랄까, 이 게시판의 목적에 어울리는 글인지는 모르겠지만, 일단 풀이를 적어봅니다.
Cauchy residue theorem을 이용하기 위하여, 우선 다음과 같은 contour를 생각합니다.
C = Γ + L. 단, R > 1 이고
![http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint_{C}%20\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\;%20dz%20=%202\pi%20i%20\left[%20\underset{z=\sqrt{i}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\right%20)%20+%20\underset{z=i\sqrt{i}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\right%20)%20\right%20]](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Coint_%7BC%7D%20%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5C;%20dz%20=%202%5Cpi%20i%20%5Cleft%5B%20%5Cunderset%7Bz=%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7B%5Cmathrm%7BRes%7D%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5Cright%20%29%20+%20%5Cunderset%7Bz=i%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7B%5Cmathrm%7BRes%7D%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%5D)
임을 얻습니다. 단, √i = exp(iπ/4) 는 i 의 제곱근 중에서 복소평면의 제1사분면에 위치한 근을 가리킵니다. 그러면 z^4 + 1 = 0 의 근 중 윗쪽 반평면에 놓이는 근은 z = √i, i√i 이렇게 두 개가 있으며, 두 근이 모두 simple zero 이므로, 다음과 같이 계산됩니다.
![http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\underset{z=\sqrt{i}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\right%20)%20&%20=%20\lim_{z\to%20\sqrt{i}}%20\left(%20\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\right)(z-\sqrt{i})%20\\%20&%20=%20\left[%20e^{iz}%20\left(%20\frac{d}{dz%20}%20(z^4+1)%20\right%20)^{-1}%20\right%20]_{z=\sqrt{i}}%20\\%20&%20=%20\frac{e^{i\sqrt{i}}}{4(\sqrt{i})^{3}}%20\\%20&%20=%20\frac{1}{4}%20\exp%20\left[%20-\frac{1}{\sqrt{2}}+i%20\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{3\pi}{4}%20\right%20)%20\right%20]%20\end{align*}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Cunderset%7Bz=%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7B%5Cmathrm%7BRes%7D%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5Cright%20%29%20&%20=%20%5Clim_%7Bz%5Cto%20%5Csqrt%7Bi%7D%7D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5Cright%29%28z-%5Csqrt%7Bi%7D%29%20%5C%5C%20&%20=%20%5Cleft%5B%20e%5E%7Biz%7D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdz%20%7D%20%28z%5E4+1%29%20%5Cright%20%29%5E%7B-1%7D%20%5Cright%20%5D_%7Bz=%5Csqrt%7Bi%7D%7D%20%5C%5C%20&%20=%20%5Cfrac%7Be%5E%7Bi%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7D%7B4%28%5Csqrt%7Bi%7D%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%5C%20&%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%20%5Cexp%20%5Cleft%5B%20-%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D+i%20%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D-%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B4%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%5D%20%5Cend%7Balign*%7D)
마찬가지로,
![http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{align*}%20\underset{z=i\sqrt{i}}{\mathrm{Res}}\left(\frac{e^{iz}}{z^4+1}%20\right%20)%20&%20=%20\left[%20e^{iz}%20\left(%20\frac{d}{dz%20}%20(z^4+1)%20\right%20)^{-1}%20\right%20]_{z=i\sqrt{i}}%20\\%20&%20=%20\frac{e^{-\sqrt{i}}}{4(i\sqrt{i})^{3}}%20\\%20&%20=%20\frac{1}{4}\exp%20\left[%20-%20\frac{1}{\sqrt{2}}%20-%20i%20\left(%20\frac{\pi}{4}+%20\frac{1}{\sqrt{2}}%20\right%20)%20\right%20]%20\end{align*}](http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbegin%7Balign*%7D%20%5Cunderset%7Bz=i%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7B%5Cmathrm%7BRes%7D%7D%5Cleft%28%5Cfrac%7Be%5E%7Biz%7D%7D%7Bz%5E4+1%7D%20%5Cright%20%29%20&%20=%20%5Cleft%5B%20e%5E%7Biz%7D%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdz%20%7D%20%28z%5E4+1%29%20%5Cright%20%29%5E%7B-1%7D%20%5Cright%20%5D_%7Bz=i%5Csqrt%7Bi%7D%7D%20%5C%5C%20&%20=%20%5Cfrac%7Be%5E%7B-%5Csqrt%7Bi%7D%7D%7D%7B4%28i%5Csqrt%7Bi%7D%29%5E%7B3%7D%7D%20%5C%5C%20&%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D%5Cexp%20%5Cleft%5B%20-%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20-%20i%20%5Cleft%28%20%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B4%7D+%20%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%20%5Cright%20%29%20%5Cright%20%5D%20%5Cend%7Balign*%7D)
입니다. 그러므로 이 둘을 더한 후 삼각함수의 성질을 잘 이용하면, 식의 우변은
가 됩니다. 한편, 좌변의 경우
로 나누면, Γ 위에서의 적분은 간단한 estimate
를 통해 R→∞ 이면 0 으로 수렴함을 알 수 있습니다. 따라서 우리는
를 얻습니다.
참고로 residue 계산은 직접 해 보세요. 계산은 반복만이 살 길이랍니다….
Cauchy residue theorem을 이용하기 위하여, 우선 다음과 같은 contour를 생각합니다.
C = Γ + L. 단, R > 1 이고
- Γ : R에서 출발해서 반시계방향으로 -R까지 이르는 반원의 원호
- L : -R에서 R까지의 선분
임을 얻습니다. 단, √i = exp(iπ/4) 는 i 의 제곱근 중에서 복소평면의 제1사분면에 위치한 근을 가리킵니다. 그러면 z^4 + 1 = 0 의 근 중 윗쪽 반평면에 놓이는 근은 z = √i, i√i 이렇게 두 개가 있으며, 두 근이 모두 simple zero 이므로, 다음과 같이 계산됩니다.
마찬가지로,
입니다. 그러므로 이 둘을 더한 후 삼각함수의 성질을 잘 이용하면, 식의 우변은
가 됩니다. 한편, 좌변의 경우
로 나누면, Γ 위에서의 적분은 간단한 estimate
를 통해 R→∞ 이면 0 으로 수렴함을 알 수 있습니다. 따라서 우리는
를 얻습니다.
참고로 residue 계산은 직접 해 보세요. 계산은 반복만이 살 길이랍니다….
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으아니... 역시 공수란...
죄송한데 중간에 계산 생략된 것 좀 해주시면 안될까요?ㅠ
1. e^(-루트i)/4(루트i)^3 에서 그 다음식 전개 어떻게 하신건가요?? De Moivre 공식같기도 하고..
2. residue 값 두개 더한 다음 최종식까지 나오는 과정도 모르겠고...
3. 구하는 값이 cosx 니까 residue 값의 real 값만 써줘야되는것 아닌가요??
공수책 설명이 워낙 부실해서.. ㅠ
1. √i 를 polar form e^(πi/4) 으로 고쳐서 통째로 지수로 묶은 겁니다.
2. 여기서 De Moivre formula 와 cos(x-π) = -cosx, sin(x-π) = -sinx 라는 아주 간단한 공식이 이용된 것뿐입니다.
3. imaginary part는 odd function이라 어차피 적분값이 0으로 날아가지요.
그나저나 복소해석학(complex analysis)이 공학수학 책에도 나온다는게 조금 신기하긴 하네요. 복소해석학을 엄밀히 배우려면 해석학에 대한 지식이 뒷받침되어야 하는데 말이지요...
빠른 답변 감사합니닼
공수책이 원래 좀 수학과에서 한학기동안 배우는걸 한챕터에 쑤셔넣어서 증명이 생략된게 많아여 (뭐, 공대생은 식만 이용할 줄 만 알면 되지만서도..)
수학과 애들은 공수책을 백과사전 용도로 보더라구여.