Srisant 님께 자극받아서 내 보는 수리논술(?) 문제 하나.
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[문제 1] 다음은 두 급수
의 값을 구하는 과정에 대한 간략한 설명이다.
이때 다음 물음에 답하여라.
(1)
의 값이 (ln 2)/2 임을 실제로 보여라.
(2) 본문에 제시된,
이 만족하는 점화식 
이 성립함을 실제로 증명하여라. (힌트: 1 + tan² x = sec² x)
(3) 다음은 이 0으로 수렴함을 엄밀히 보이기 위한 단계이다. 각각의 물음에 답하여라.
의 값을 구하는 과정에 대한 간략한 설명이다.
수열 을 다음과 같이 정의하자:
이 수열의 첫 두 항은
으로 주어진다. 또한 이 수열은 다음 점화식을 만족한다.
그러므로 위 식을 반복하면, 임의의 m = 0, 1, 2, … 와 n = 1, 2, 3, … 에 대하여
가 성립함을 알 수 있다.
한편, 0 ≤ x < π/4 일 때 |tan x| < 1 이므로, 동일한 x에 대하여 tanⁿ x 는 n→∞ 일 때 0으로 수렴한다. 따라서 이로부터 수열역시 n→∞ 일 때 0으로 수렴함을 알 수 있다. 그러므로 위 식에서 n→∞ 의 극한을 취하면
임을 알 수 있고, m = 0 과 1 을 각각 대입하여 정리하면
이다.
이 수열의 첫 두 항은
그러므로 위 식을 반복하면, 임의의 m = 0, 1, 2, … 와 n = 1, 2, 3, … 에 대하여
가 성립함을 알 수 있다.
한편, 0 ≤ x < π/4 일 때 |tan x| < 1 이므로, 동일한 x에 대하여 tanⁿ x 는 n→∞ 일 때 0으로 수렴한다. 따라서 이로부터 수열
임을 알 수 있고, m = 0 과 1 을 각각 대입하여 정리하면
이다.
이때 다음 물음에 답하여라.
(1)
(2) 본문에 제시된,
(3) 다음은
(3-1) ε 가 0과 π/2 사이의 실수라고 하자. 그리고
으로 두자. 그러면 0 ≤ x ≤ α 이고 자연수 n이
를 만족할 때 항상 다음 부등식
이 성립함을 보여라. 또, n이 앞서의 조건을 만족하면 다음 부등식이 성립함을 보여라.
(힌트: 적분구간을 [0, α] 와 [α, π/4] 로 쪼개보라.)
이로부터, 각각의 실수 ε > 0 마다 어떤 자연수 N(ε)이 존재하여, n ≥ N(ε) 이 성립하면 위 부등식이 성립함을 알 수 있다.
(3-2) 수열 a(n)이 실수 α로 수렴한다는 것은, 수학적으로 엄밀하게 다음과 같이 정의된다:
이 정의를 이용하여 이 0으로 수렴함을 보여라.
으로 두자. 그러면 0 ≤ x ≤ α 이고 자연수 n이
이 성립함을 보여라. 또, n이 앞서의 조건을 만족하면 다음 부등식이 성립함을 보여라.
(힌트: 적분구간을 [0, α] 와 [α, π/4] 로 쪼개보라.)
이로부터, 각각의 실수 ε > 0 마다 어떤 자연수 N(ε)이 존재하여, n ≥ N(ε) 이 성립하면 위 부등식이 성립함을 알 수 있다.
(3-2) 수열 a(n)이 실수 α로 수렴한다는 것은, 수학적으로 엄밀하게 다음과 같이 정의된다:
각각의 양수 ε > 0 마다 어떤 자연수 N(ε)가 존재하여, n ≥ N(ε) 이면 항상 |a(n) - α| < ε 이다.
이 정의를 이용하여
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아 여기가 더 흥하겠다 ㅋㅋㅋㅋㅋ 내공에 차이가 느껴지네요 ㅜㅜㅠ
오, 소스님의 투척이라니.. 도전해보겠습니다! (꽤 간만에 보이시는것같네요..)
이거 퍼가도 대나요?