간단한 초월함수의 극한, 좀 봐주세요 ~
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(x^2)(a^x) 이차함수와 지수함수의 곱입니다. 죄송합니다
이 함수가 x→∞일 때의 극한값이 0이라는 감은 있습니다만
정확한 수식으로 보이지는 못 하겠습니다.
분모, 분자 0으로 갈 때로 식을 변형하여 로피탈로 풀려해도 안 되고...
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(x^2)(a^x) 이차함수와 지수함수의 곱입니다. 죄송합니다
이 함수가 x→∞일 때의 극한값이 0이라는 감은 있습니다만
정확한 수식으로 보이지는 못 하겠습니다.
분모, 분자 0으로 갈 때로 식을 변형하여 로피탈로 풀려해도 안 되고...
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x2ax 가 뭐죠?
오르비 수식기로 표현했는데 안 됐나 봅니다 죄송합니다.
(x^2)(a^x)
이차함수와 지수함수의 곱입니다. 죄송합니다
그게 뭐에요 -_-;;?
(x^2)(a^x)
이차함수와 지수함수의 곱입니다. 죄송합니다
일단 01이면 극한값이 자명하게 나오니까요. 0 1입니다. 따라서, 위 극한은 ( x^2 ) / { (1/a)^x } 로 쓸 수 있고, x^2에 비하면 (1/a)^x가 아주 빠르게 증가하므로 극한값은 0이 됩니다.
감사합니다 ㅎ
0 < a < 1 이라고 가정하겠습니다. 이제 f(x) = x^2 a^x 로 둡시다. 그러면
f(x+1) / f(x) = (1 + 1/x^2) a
입니다. 그러면 0 < a < 1 이므로, (1 + 1/b^2) a < 1 를 만족하는 b를 찾을 수 있습니다. 이제 r = (1 + 1/b^2) a 로 두면, x ≥ b 일 때 항상 f(x+1) / f(x) ≤ r 가 성립합니다. 이는 곧
f(x+n)/f(x) ≤ r^n
임을 뜻합니다. 따라서 [b, b+1] 에서 f(x) 의 최대값을 M이라고 하면, x 가 [b+n, b+n+1] 사이에 놓일 때 f(x) ≤ M r^n 을 만족하고, x→∞ 일때 n→∞ 이므로 원하는 바가 증명됩니다.
sos440님의 풀이는 종종 말을 잃게 만드네요...
와... 논술 해설같네요...
그리고
f(x+1) / f(x) = {(1 + 1/x)^2 }a = (1 + 2/x + 1/x^2)a 아닌가요 ?
님께서 증명해주신 과정과 결과에 영향을 미치지 않지만요 ㅎ