답변 달린 글을 지우다니, 해도해도 너무하지 않습니까! + 문제 하나
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아니 왜 사람들이 고생해서 답변을 단 글을 지우는 거죠? 전에도 몇 번 이런 일이 있었지만, 정말 이제는 못 참겠네요.
제 답변을 포함해서 사람들의 답변이 지우지 않고서는 배기지 못할 정도로 가치가 없어보였다는 소리로밖에 보이지 않네요. 이건 완벽한 결례입니다!
제가 좋은 답변을 달았다고 자신은 못 하지만, 그대로 개인적으로 그 문제에 대해 고민하고 노력해서 단 답변인데, 이런 취급을 계속 받으니까 화가 나는군요.
오랜만에 와본 오르비가 이런 모양이라니, 저 한심한 네이버 지식인도 이런 정도는 아닌데 말입니다!
뭐 이득보자고 답변 다는 것도 아닌데, 괜히 마음상하고 후회하기 전에 그냥 나가버리든가 해야겠네요.
그래도 게시판의 목적에 맞게 나가기 전에 문제 하나 던집니다.
개인적인 생각으로는 교내 수학경시대회 문제 정도의 난이도라고 생각하는데, 관심 있으면 한 번 풀어보세요.
[문제] 모든 행렬의 성분이 실수인 2차 정사각행렬 A가 A² - 2A + E = O 을 만족하고, 다음 등식
을 만족시키는 자연수 n과 실수 θ이 존재한다고 하자. 이때 가능한 모든 A를 구하여라.
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기분 상하실만 합니다.
이것 참... 글 지우는 이유에 대해서 설문조사라도 해야할 판이군요 -_-;;
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A^n=nA+(1-n)E라는 사실을 밝힌 후 A^2=2A-E라는 식에 대해 케일리 해밀턴의 역에 대해 푸는 문제일까요... 회전행렬이 들어간것보면 그것보다 뭔가 깔끔한 풀이가 있을것 같기도 하고..
(A-E)^n=O<=>(A-E)^2=O
따라서
A^2n-2A^n+E=O에서
cos2theta-2costheta+1=0 그리고 sin2thata-2sintheta=0
[costheta=0,1] 그리고 [sintheta=0 또는 costheta=1]
따라서 sintheta=0 and costheta=1
그러므로 A^n=E
그런데 A² - 2A + E = O 이므로 A^n=nA+(1-n)E가 성립하므로
(x^n을 (x-1)^2으로 나누면 나머지가 nx+(1-n)라는걸 눈치 채시면..)
nA+(1-n)E=E 따라서 A=E이다.
(A-E)^n = O ⇔ (A-E)^2 = O 에서 어떻게 A^2n - 2A^n + E = O 를 유도해내셨나요?
그냥 (A-E)^2=O 에다가 (A^n-1+A^n-2+...+E)^2 양변에 곱하면 (A^n - E)^2=O인데
제가 엉뚱한 소리를 했네요 ㅋㅋ
괜히 어줍잖은 지식을 자랑한꼴이 되서 민망..
아하! 굉장히 깔끔한 방법이네요. 전체 풀이가 제가 생각했던 것보다 훨씬 더 쉬운 방법이어서 놀랐습니다.
저도 문제는 풀었지만.. 다른 풀이 방법도 궁금하네요.
n이 문제에 주어진 그 자연수라고 하고, R(θ)를 주어진 회전행렬이라고 합시다. 그러면 임의의 자연수 m에 대하여
A^m = mA + (1-m)E
이므로, A^(kn) 을 계산해보면
R(kθ) = knA + (1-kn)E
가 성립합니다. 이제 양 변을 kn 으로 나누고 k→∞ 의 극한을 취해보면 O = A - E 가 나옵니다.
A² - 2A + E = O에서 A+(A)^-1=2E, A^2+A^-2=2E, A^3+A^-3=2E,....... A^n+A^-n=2E라는 결과가 나오고, 조건에서 성분의 값이 사인과 코사인으로 나타내져있는 A^n 역행렬을 구하고 A^n과 A^-n을 더하면 2cosE가 나오는데 A^n+A^-n=2E=2cosE, 따라서 코사인의 값은 1이고 사인의 값은 0, 그래서 A^n=E=nA+(1-n)E, A=E
이렇게 풀어도 되나요?
괜찮은 풀이네요. A의 역행렬이 존재한다는 것을 보이고, A^n + A^-n = 2E 가 나오는 과정을 귀납적으로 잘 설명하면 훌륭한 풀이가 될 것 같습니다.
이렇게는 안되나요? A^n이 세타만큼 회전시키는 행렬이므로 A는 세타/n만큼 회전시키는 행렬이다 그러므로 케일리 해밀턴정리의 역에 의하여 2cos세타/n =2 그러므로 구하는 A=E이다
ㅠㅠ 뭔가 부족해보이네요
A가 세타의 회전변환이면 A^n는 n세타의 회전변환이지 만필요충분은 아니니까 안되려나요. 단순히 A가 회전변환의 일종인 것만 증명해도 간단하게 구할 수 있을 것 같은데 말이죠ㅠ.
당연하게도 반례가 존재합니다. 특수한 조건들이 추가되어야 합니다.