적분 질문 ㅠㅠ

개념을 확실히 알 필요가 있습니다.



[부정적분]

(1) 정의 : 주어진 함수 f(x)가 어떤 함수 F(x)의 미분이라는 사실을 안다고 합시다. 즉, F'(x) = f(x)라는 사실을 알고 있다고 합시다. 그러면 우리는 F(x)를 f(x)의 부정적분이라고 부릅니다. 쉽게 말하면, 미분의 역과정입니다.

(2) 성질 : 부정적분은 유일하지 않습니다. 하지만 f(x)의 임의의 두 부정적분은 (만약 존재한다면) 서로 상수함수만큼 차이납니다.

(3) 표기법 : f(x)의 임의의 부정적분을 ∫ f(x) dx 로 적습니다. 또, f(x)의 한 부정적분 F(x)를 알고 있다면, f(x)의 임의의 부정적분을 F(x)+C 로 적을 수 있습니다. 이때 C를 적분상수라고 합니다.

(4) 코멘트 : ∫ f(x) dx 가 실제로 무엇을 가리키는지 헷갈려하시는 분들이 많습니다. 교과서에서 이를 명시적으로 언급하진 않지만, 일반적으로
∫ f(x) dx = { F(x) | F'(x) = f(x) }
로 정의됩니다. 즉, ∫ f(x) dx 는 미분해서 f(x)가 되는 모든 함수들의 집합입니다.



[정적분]

(1) 정의 : 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이라고 합시다. 이때 [a, b] 위에서 이 함수의 그래프의 밑부분이 이루는 넓이(엄밀히는 '부호를 가진 넓이')를 a에서 b까지의 f(x)의 정적분이라고 이야기합니다.

(2) 표기법 : a에서 b까지의 f(x)의 정적분은 극한 lim_{n→∞} ∑_{k=1 to n} f(a + (b-a)k/n) (b-a)/n 으로 표현되며, 이 극한을 ∫_{from a to b} f(x) dx 로 표시합니다.



[정적분과 부정적분의 관계]
정의상 전혀 관계가 없어보이는 두 개념이 어떻게 비슷한 이름과 기호로 사용될까요? 이것을 정당화시켜주는 것이 바로 정적분의 기본정리입니다.

(1) 내용 : 함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면,
F(x) = ∫_{from a to x} f(t) dt
로 정의되는 함수는 미분 가능하고 F'(x) = f(x) 를 만족한다.

(2) 따름결과 : f(x)가 폐구간 [a, b]에서 연속이면 f(x)는 부정적분을 갖는다. 또 f(x)의 임의의 한 부정적분을 F(x)라고 두면, 다음 등식이 성립한다.
∫_{from a to b} f(x) dx = F(b) - F(a)




개념적으로는 이 정도의 차이가 있습니다. 즉, 대답은 이렇습니다.

정적분은 항상 적분하는 함수의 (부호를 고려한) 넓이로, 쉽게 말하면 "연속함수와 적분구간이 주어졌을 때마다 값이 정해지는 어떤 값" 입니다. 즉 정적분은 기본적으로는 함수의 개념이 아니라 값의 개념입니다. 단지 위에서처럼 적분구간에 변수가 포함되어 있어서 적분값들로 이루어진 함수를 만들 수는 있지요.

부정적분과 정적분을 문제 풀 때 굳이 구분할 필요가 있냐고 물으면, 솔직히 그럴 필요까지 있냐는 생각입니다만... 그래도 개념적으로 이런 차이를 잘 잡는 것이 실제로 문제를 풀 때 심리적으로 든든한 바탕이 되지 않을까 하는 생각을 해 봅니다.