미분과 연속문제 3개. 왜 틀렸는지 좀요 ㅠ

두함수 f(x),g(x)가 x=a에서 연속일때 x=a에서 항상 연속인 함수 찾기인데요

(단, f(x)의 치역은 g(x)의 정의역에 포함된다.)

g(f(x))가 안되는 이유가

lim(x→a) g(f(x)) = g(f(a)) 이므로 g(f(x))가 x=a에서 연속이려면 g(x)가 x=f(a)에서 연속이여야한다.

라고 나와있는데요.

다른 문제집 이론에 보면  

두함수 f(x),g(x)가 x=a에서 연속일때

f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함된다면 g(f(x)) 는 연속이다. 라고 나오는데 뭐죠 ㅠ

그리고  g(x)가 x=f(a)에서 연속이다. 

라는게 f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함되고 g(x)는 연속이다랑 같은말 아닌가요?

그럼 맞는거 아닌가요?

뭐가 틀린거죠? 

그래프로도 그려보면.

이런 식으로 f(x)의 치역이 g(x)의 정의역에 포함되고

두개다 연속하니깐 임의의 a에 대해 만족 할 수 있는거 아닌가요?( 그래프는 제가 그냥 지어낸거.)

두번쨰는.

연속함수 f(x)에 대해 f(1)=a-2, f(3)=a-6 일떄,

구간(1,3)에서 실근을 갖도록 하는 정수의 범위인데요

원래 풀이는  f(1)f(3)<0 이라하고 (a-2)(a-6)<0 이렇게 두는데요

저걸 위에  f(1)f(3)<0  이걸 풀어서 보면 f(1)>0, f(3)<0 or f(1)<0, f(3)>0 이런말 아닌가여?

f(1)>0, f(3)<0 은 풀면 2<a<6 이렇게 답이 나오는데 

근데 왜  f(1)<0, f(3)>0 을 풀면 a<2, a>6 같은 이상한 범위가 나오는 거죠? ㅠ 

엄연히 f(1)<0, f(3)>0 도 곱하면 음수 인데. 뭐져...

제가 어디서 착각하고 있는건지 ㅠㅠ

마지막으로.

연속함수 f(x)에서

lim(h→0) {f(h)-(-h)}/h=0 이면 f'(x)=0 이다 는 거짓인데

lim(h→0) f(h)/h=0  이면 f'(x)=0 이다 는 왜 참이죠?

첫번째꺼는 반례로 lxl 를 쓸 수 있고 두번째껀 왜  lxl 가 반례가 안되는거예요?

제가 바보라서 좀 자세하게 설명해주세요 ㅠㅠ