타원에서 증명 질문

우선 다음 명제를 증명합시다:

명제 (최소시간 원리). 평면상에 한 직선 L이 있고, L에 의해 나눠지는 평면의 두 영역 중 한쪽 영역에 서로 다른 두 점 A, B가 있다고 하자. 이때 직선 L 위의 점 P에 대하여 다음은 필요충분조건이다:
(1) A에서 P로 쏜 빛이 L에서 반사되서 나올때, 이 빛은 B를 지난다.
(2) AP + PB 의 값이 최소이다.

말이 긴데, 이론도 간단하고 증명도 간단합니다. 즉, 빛의 반사 현상은 경로를 최소화시키는 방향으로 일어난다는 것이지요. 이제 증명을 해 봅시다.

증명) B를 L에 대해 대칭시킨 점을 B'라고 합시다.
(1) ⇒ (2) : 입사각과 반사각이 같으므로, AP와 PB'가 각각 L과 이루는 각은 같다. 따라서 AB' 위에 점 P가 놓이고, L위의 P와 일치하지 않는 임의의 점 Q에 대하여 AQB 는 삼각형이 된다. 이는 AQ+QB > AB = AP + PB 임을 뜻하므로, 원하는 바를 얻는다.
(2) ⇒ (1) : 위에서와 같은 논리로, AP + PB' 가 최소가 되는 지점은 P가 AB' 위에 놓이는 경우이다. 그리고 이 경우 AP와 PB'가 L과 이루는 각이 같다. 따라서 AP와 PB가 L과 이루는 각 역시 같고, 이는 입사각과 반사각이 같음을 뜻한다. 따라서 (1)이 증명된다.


이미 눈치채셨겠지만, 최소시간의 원리는 결국 타원에 대한 언어로 바꾸어 쓸 수 있습니다. 주어진 타원 C의 두 초점을 각각 F, F'라고 합시다. 그리고 C 상의 한 점을 P라고 합시다. 또한 P에서 C에 그은 접선을 L이라고 합시다. 그러면 L 위의 임의의 점 Q에 대하여, FQ + QF' 는 항상 FP + PF' 보다 크거나 같고, 같을 필요충분조건이 Q = P 임을 확인할 수 있습니다.

이는 그림을 그려놓고 곰곰히 생각해보면 정말 당연해보이지만, 혹시라도 당연하게 느껴지지 않을까봐 기하학적인 논리를 이용하여 실제로 확인해보겠습니다. 우선 L 위의 점 Q에 대한 함수 Len(Q) = FQ + QF' 를 생각합시다. (순전히 타이핑 노가다를 줄이기 위한 편의니까, 이것이 거북하다면 그냥 FQ + QF' 로 풀어서 생각하시면 됩니다.) 이때 Len(Q) = Len(P)를 만족하는 L 위의 점 Q가 두 개 이상 존재한다면, 타원 C가 그 접선인 L과 두 곳 이상에서 만난다는 모순에 빠집니다! 그러므로 Len(Q) = Len(P)를 만족하는 점은 Q = P 가 유일해야 합니다. 이것이 사실 우리에게 필요한 가장 중요한 관찰이기도 하고요.

그럼 이 사실이 왜 Len(P)가 Len(Q)의 최소값임을 뜻할까요? 이는 Len(P)가 최소값이 아니면 Len(Q) = Len(P)인 지점이 두 군데 이상 발생하기 때문입니다. 이 사실이 당연하게 받아들여진다면 더 이상 증명을 볼 필요도 없겠지만, 그래도 노파심에 한번 증명을 해 봅시다. 귀류법을 이용하여, Len(Q0) < Len(P) 인 점 Q0가 존재한다고 가정합시다. 그리고 Q = P 에서 시작해서 Q를 Q0 방향으로 서서히 이동시켜봅시다. 그러면 Q = Q0 인 순간 Len(Q) < Len(P) 를 만족할 것이지만, Q를 계속 이동시켜서 타원으로부터 아주 멀리 보내면 Len(Q)는 한계가 없이 계속 커지므로, Len(Q) > Len(P) 인 시점을 찾을 수 있을 것입니다. 그런데 Len(Q)는 연속적으로 변하므로, 그 사이에 Len(Q1) = Len(P)를 만족시키는, Q0과는 또 다른 순간인 Q1이 존재할 것입니다. (연속함수에 대해 배운 분들은 이것을 중간값 정리의 결과로 이해할 것입니다.) 이것이 무엇을 의미할까요? 타원 C가 접선 L과 서로 다른 두 점에서 만난다는 것을 뜻합니다! 이는 모순입니다. 따라서 원하는 사실이 증명됩니다.

이제 원래 상황으로 돌아가보면, A = F, B = F' 에 대하여 최소시간 원리의 (2)번 조건이 충족된다는 것을 발견할 수 있습니다. 따라서 최소시간의 원리에 의해 (1)이 성립하고, 이는 F에서 출발한 빛이 타원 C에서 반사되면 F'를 지난다는 것을 뜻합니다. 따라서 증명됩니다.