f(x+T)=1/2f(x) 인 반감기를 띄는 함수방정식은 지수함수 꼴이 유일할까요??
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반감기를 갖는 함수방정식에 대해서 질문하나 할게요
지수함수형태의 방정식(지수가 1보다 작을때)은 f(x+T)=1/2f(x)를 만족한다는 건 알겠습니다. 그런데 역으로 f(x+T)=1/2f(x) 를 만족하면 항상 지수함수 형태일까요?
저는 구간의 크기가 T인 부분의 그래프만 주어지면 나머지 그래프부분은 전부 2배나 1/2배를 하면서 그려질 수 있다고 생각했는데요 학원선생님께서는
지수함수꼴밖에 안나온다고 하시더라구요~ 어떤게 맞나요? 만약 지수함수꼴의 그래프만 나온다면 혹시 그 과정을 살짝 보여주시면 감사하겠습니다ㅎㅎ
아 물론 제가 생각한 그래프의 구간 T의 왼쪽끝과 오른쪽끝은 1/2배 관계를 만족해야할것 같네요
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연속함수일 경우엔 무조건 지수함수겠지만
연속함수라는 조건이 없다면 무궁무진해져요
예를들어 f(x+2)=1/2f(x)일때 0≤x≤2에서 y=x^2 , 2≤x≤4에서 y=1/2x^2 ~~~ 등등..
비슷하게 f(x+y)=f(x)f(y)라는 함수방정식도 마찬가지에요. 연속함수라는 조건만 있으면 무조건 지수함수여야만 해염
f(x+y)=f(x)f(y)가 연속함수라는 조건이 있다고해서 지수함수는 아니지않나요??
f(x)=1 or f(x)=0 도 연속함수이지만 지수함수는 아닌걸요ㅎㅎ
아 조건을 안달았네요
지수함수라 밑≠1, 밑>0인 경우로 제한이 되는데, 밑=1, 밑≤0인 경우도 물론 생각해줘야해요