y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? & 유리화는 왜하는걸까?
안녕하세요. 일반청의미입니다.
이 칼럼은 이 글에 담긴 생각을 바탕으로 쓰게 되었습니다.
공부의 양은 어떻게 정할까? : http://orbi.kr/0008692499
공부의 양은 생각의 양과 같고, 생각과 고민은 질문에서 나옵니다!
공신 방송 다녀온 후기 & 수학 칼럼 연재합니다. http://orbi.kr/00010768917
가장 쉬운 방식으로 개념을 이해해야해요 : http://orbi.kr/00010794675
이차방정식의 해법 해설 + 평행이동할때 왜 점은 +a인데 그래프는 -a일까? : http://orbi.kr/00010789384
평행이동 해설 & 어떻게 곡선 위의 점의 접선은 한 점으로 정의될까? : http://orbi.kr/00010841663
저번주의 칼럼은 바로 이거였어요!
곡선 위의 점의 접선 해설 & y=|x|는 왜 x=0에서 미분 불가능할까? : http://orbi.kr/00010980265
정답갑니당.
A : y=0 말고 y=1/2x도 접선, y=-1/2x도 접선…. 그러면 접선이 매우 많아지죠.
원점을 지나고 기울기가 -1에서 1 사이인 직선 모두가 접선이 됩니다.
모두가 원점을 스치면서 지나가니까요
접선의 정확한 정의는 미분계수를 기울기로 갖는 직선입니다.
미분계수는 그래프 위 두 점 사이의 기울기의 극한이며, 접선의 정확한 정의는 할선의 극한입니다.
할선의 극한이라는 말이 애매하지만, 극한의 정의로 미루어보면 극한값이 존재하려면, 좌극한과 우극한이 같은 값으로 수렴해야 합니다.
직선으로 확장시켜보면, 좌측에서 가까워져 가는 할선과 우측에서 가까워지는 할선의 극한 모두 한 직선으로 일치해야 합니다.
이렇게요!
좌극한과 우극한이 다르면 극한의 정의에 의해 어떤 것에 가까워진다고 단정짓기 애매하니까요! 그 사이 어떤 값을 택해야할지 애매한 것입니다.
우리는 한점에서 직선을 그을 수 없습니다. 하지만 접선은 그을 수 있게 된 이유는 극한을 통해 그 직선을 정확하게 하나로 결정할 수 있었기 때문입니다. 결정할 수 없다면? 당연히 한점에서 직선을 그을 수 없으니, 접선이 정해지지 않겠죠! 보통 뾰족점에서 접선이 무한히 많이 생깁니다. 이것을 첨점이라 하며, 그 점에서 함수는 미분 불가능합니다.
x값에 그 값에서의 미분계수가 y값이 되어 대응되는 함수를 도함수라 합니다.
도함수도 함수입니다! 즉 x값 하나에 y값 하나가 대응되어야하며, 도함수가 존재하려면 원함수가 정의되는 곳에서 모두 미분 가능해야 합니다.
접선이 많으면, 대응되는 접선의 기울기가 1개 이상이기 때문입니다.
Q : 그렇다면 왜 y=|f(x)|에 미분 불가능한 점이 생길 가능성이 있을까요?
절댓값의 정의는 수직선 위의 원점에서 어떤 점까지의 거리입니다. 항상 양수에요.
절댓값 기호 안의 값이 음수일 때는 마이너스가 붙어서 양수가 됩니다.
절댓값 기호 안의 값이 양수일 때는 f(x), 절댓값 기호 안의 값이 음수일때는 –f(x).
즉, 함숫값의 부호가 바뀔 때 함수또한 바뀐다는 것입니다!
서로 다른 함수 y=f(x)와 y=–f(x)가 이어져 있습니다. f(x)가 모든 실수에서 미분가능한 함수라 하더라도 y=f(x)와는 다른 함수 y=-f(x) 두개가 이어져있을때 미분 가능한지는 알 수 없습니다.
즉 함수가 바뀌는 부분에서 미분가능한지를 조사해야합니다.
함수가 바뀌는 부분이 어디인지에 주목하면 미분가능성 문제를 수월하게 풀 수 있습니다.
1. f(x)와 에 절댓값이 붙어있다. 이 절댓값 함수는 어디에서 바뀔까?
2. f(x)는 x=-1에서 함수가 바뀐다. 그러면 이것을 기준으로 나눠주면 될거야.
3. 는 어디에서 함수가 바뀔까?
……………….
이런 식으로 문제풀이가 진행됩니다.
1. g(x)가 절댓값이 두개 붙어있다. g(x)는 x에 따라 함수식이 바뀔거야.
2. 바깥의 절댓값을 생각하기엔 안의 절댓값 때문에 정확하게 알 수가 없다.
3. 일단 맨 안쪽의 절댓값부터 생각해보자. X=0 좌우에서 함수가 바뀔거야.
4. X=0 주변에서는 함숫값이 1 근처일거야. 그 주변에서는 항상 양수일거야.
5. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
6. X가 0이상에서는 함수가 언제 바뀔까?
7. 함수가 바뀌는데 어떻게 미분가능할 수 있을까?
사실 문제를 풀 때, 계산을 전혀 할 수 없어서 문제를 못푸는 경우보다는
문제를 풀기위한 아이디어가 부족해서 못푸는 경우가 많습니다.
그러므로 그 아이디어를 계속 고민해야하며, 그 근거는 개념에 있습니다.
사실 많은 분들이 예견해주신듯 합니다..ㅋㅋㅋ
요약하자면, 극한값은 좌극한과 우극한이 일치해야 존재합니다.
일치하지 않으면, 그 사이의 어떤 값으로 가까워지는가를 설명하기 힘들기 때문입니다.
그러면 다음주제를 소개해볼게요
유리화는 왜 하는걸까?
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
문제에 대한 해설과 더 많은 무료 고난도 문제는 https://t.me/JerryEthic
-
시마이 치자 4
다들 수능 잘 보고 수험 생활 시마이 칩시다
-
느낌오는사람있음 ㅇㅇ
-
하루는 아 씨 국어 다 발라서 100점 맞을듯 ㄹㅇㅋㅋ 그전에 한양논 붙을듯...
-
지구 서바 0
지구 서바 21,22회 답 알려주세요
-
진짜아무생각도없음 가끔실모좃되면생각이좀들긴하는데 그거아니면잘봐도딱히생각이없네 내년에또해야해서그런가?
-
윤도영 생2 인강을 들어봤다 <-숙성된 와인
-
틀딱봇치
-
수능 안떨리는 이유 12
6모급 죄악국어 재림하면 어짜피 손도못쓰고 3컷이기 때문 망함을 두려워하는건 망하지...
-
3번째라 그런가 걍 ㅈㄴ 초연함 수능 당일에도 슥슥슥 풀거 같음 재수땐 걍 지금부터...
-
수능 기준이면 높3은 될까요? (백분위 85이상) 원래는 2중반(백분위 92-93)...
-
1번16번25번 0
너희를 킬러문제라고 명명한다 최근승률5전4패
-
으아아아아아악 4
어떻게 사람이 대체 어떻게 실수로 10점이 나가
-
진짜 갑자기 추워지네 14
그래서 옷이 없음 ㅅㅂ 다 본가에 있는데
-
지금 특성화 다니는 고1입니다 진로가 이쪽이 안맞는거같아서 자퇴 후에 일반고...
-
기출 수특수완만 하고 치울까
-
창의ICT 공과대 안으로 묶은건가 ;;
-
이제 진짜 추워진듯 18
과잠 입어야겠네
-
시마이랑 겐세이, 쿠사리는 포기 못 해
-
님들근데 내년부터 교육부에서 사탐런막으면 입시판 정상화되는거임? 4
사탐런없으면 과탐정상화될거같은데
-
끼워팔기 논란 성실성 논란 인성논란
-
화1이 망한이유 2
23수능의 난이도 때문인가
-
강k 23 25 27 ㅡ 88 85 82 서바 18 20 22 ㅡ 92 96 78...
-
오줌은 잘 못가리셔도 참 좋은 분이셨는데....
-
10월모고1등다노
-
오늘의 교훈 6
빨리 연초를 피자
-
이매진핫100 1
독서나만어려움.?.? 쉽다그랫는데 시간도개짧고 기출이랑 다르게 뭔가 명확하게...
-
생1이랑 디카프 니가 이기나 내가 이기나 한번 해보자
-
*1차 정오사항 : 13번에 ㄷ선지 '이르다'를 '늦다'로 수정했습니다. 순수 자작...
-
생윤사문 다 풀어봤는데 수특이 기출보다 훨씬 어려움
-
에헷!
-
아 탈모 오겠다 5
공부 스트레스 이빠이
-
6모 3412 9모. 4323 예체능임 국영탐탐..
-
수1수2 다 스탠다드로 수업했었음? 수1 특강은 교재 뭐였어??
-
부끄러워요
-
이번 겨울방학에 한석원T 4규를 풀어보려하는데 내년 교재는 언제 나오나요? 늦게...
-
따는 사람은 호감이 있을건데 번따 당하는 사람은 그 사람한테 쌍방이 아니면 무조건 실패아님?
-
문제에 대한 해설과 더 많은 무료 고난도 문제는 https://t.me/JerryEthic
-
그정도는 아니였던거같긴한ㄷ암트기분좋네
-
두 상수 a,b (0<b<2ㅠ)에 대하여 함수 f(x) = 3- asin(3x+b)...
-
좋겠다
-
언매 백분위96 미적 백분위 89~90 영어1 사문생윤 만점 어디갈까요.? 과는...
-
물리실모는 풀면 화나는데 지구는 재밌다
-
상상 5-3 0
왤케 뭔가뭔가지
-
ITQ 따고 헌혈러쉬뛰고 헌급방박고 빨리 군지하는게답인듯
-
시간 압박 주려는 건 알겠는데.. 어삼쉬사 번호에 힘을 너무 주는 실모가 많아서...
-
*사진에서 빠진 조건: g(x)는 실수 전체의 집합에서 연속이다. 오답 노트...
-
작9평9번못풀고60점대초반나온인간쓰레기를여기까지올려줌 강의 몰입도 압도적 킬러도...
-
체감 난이도 두배다 이거 둘다 이번녕도껀 졸라어려우거맏뎌?
-
진짜..이게맞나..
Lim (a-b)와 같은 형태에서 a,b 둘다 발산하는 형태이면 극한의 연산과 관련된 형태를 사용할 수 없기 때문에 유리화를 통해 극한의 연산 법칙을 적용 가능한 형태로 바꿔주는것 아닌가요...? 그나저나 일반청의미님 글이 모아보기에서 계속 안보여욤 ㅠㅠ
그래도 lim c/d 에서 c, d 둘다 발산하는 형태일걸요!
사실 lim (x-1)/(x-2)같은거에서 최고차항 지수/계수비교하는게 일상화되어서 놓칠수 있는 부분이지만 x값이 임의의 상수값이 아닌 무한대로 발산했을때의 극한의 경우 lim1/x=0과 같은 몇개의 공리를 적용할 수 있는 형태로 변형한다 (ex.x-1/x-2를 (1-(1/x))/(1-2/x))와 같은 형태로 )뭐 그렇게 배웠던 기억이 나서욤! 유리화도 비슷한 맥락으로 이해했던것같은...
넹 더 자세하게 설명해주면 되십니당.
또한 분모의 유리화는 왜 하는지도 생각해주시면 좋아요.
유익한정보 고맙습니다~~ 이런글은 닥팔이야! ^,^