조화수열과 분수식과 방정식(?) 문제 입니다.
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수1실력정석 169페이지 필수예제 11-5-(2)문제입니다.
일단 문제의 전문을 적어보자면
X₁= 7 , X₂= α (알파) 이고
Xn (수열에서 n번째 항) >0,
X(n+1)X(n+2) - 2XnX(n+2)+XnX(n+1) = 0 (n은 자연수)
모든 자연수 n에 대하여 Xn이 정수가 되는 α의 값을 구하여라.
여기서 수열 {1/Xn}은 등차수열임을 알 수 있고
일반항 1/Xn을 구하여 역수 취하면
Xn = 7α / (n-1)(7-α) + α 이 됩니다.
여기서
임의의 자연수 n에 대하여 Xn이 정수가 되려면
7-α = 0이어야 한다는데 왜 그런거죠 ?
[임의의 실수 x에 대하여] 또는 [모든 실수 x에 대하여] ~가 성립한다고 할 때
x에 관한 방정식에서 x의 ㄱㅖ수가 0이 되는 원리인가요 ?
가르쳐 주세요 ~
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정수*정수 +a의 꼴이 7의 약수 꼴이 되기위해서는 7 -7 +1 -1
이 되어야 하는데 특정한 a값을 넣었을경우 n의 값을 이리저리 변형시키면.
저 밑에 식을 Ka 꼴로 만들수는 있으나
K 가 7의 + - 약수라고 장담을 할수 가 없기 때문이죠.
즉 그래서 n에 관한 항등식 형태로 풀어야 하는겁니다.