-수II, [미소변화율을 논함 3] • 적용 편
*좋아요와 팔로우는 필자에게 큰 동기부여가 됩니다 :D
바로 문제부터 보시겠습니다, 다음 두 문항을 보고 떠오르는 풀이의 방향성을 정해봅시다!
*다 해결하셔도 좋고, 풀이 방향성만 마음속으로 정하셔도 충분합니다!
1번 문제
-東京工業大学(도쿄공업대학) 본고사 중 발췌
14. a>0, t>0에 대해 정적분 S(a,t)를 생각합니다.
(1) a를 고정했을 때, t에대한 함수 S(a,t)의 최솟값 m(a)를 구하시오. [4점]
(2) 다음 극한을 계산하시오. [2점]
2번 문제
-18.03.30 수학 가형
30. g(x)의 극댓값과 극솟값의 차이를 구하시오. [4점]
다 정하셨나요?
제가 두 문제를 처음에 보고 든 생각을 그대로 적자면
"함수가 간단하네요? 피적분함수는 그릴 수 있다면 그려보는 편이 좋겠어요. ->
1번 문제는 조건에 따라 a를 상수 취급하고 t가 움직임에 따라 관찰해보고,
2번 문제는 x와 y=f(x)를 움직이며 관찰하면 되겠군요!
두 문제의 공식 해설은 다음과 같습니다.
(ハイレベル 数学iii•C 중 발췌)
역시 계산은 조금 많지만, 흠잡을 곳 없는 자명한 풀이입니다.
그치만 저희에게는 이전에 학습한 미소변화율 개념이 있고, 이를 이용한다면 단축할 수 있겠다는 생각이 드네요.
*못 보신 분들을 위한 이전 화 링크입니다.
-수II, [미소변화율을 논함] : https://orbi.kr/00066494675
-수II, [미소변화율을 논함 2] : https://orbi.kr/00066523574
두 문제 모두 절댓값이 끼어 있는 정적분으로 정의된 함수이기에, 구간을 나누어 넓이함수를 구하고 미분하는게 출제의도일 테지만,
적분 값을 넓이로 시각화하여 관찰하면 넓이함수의 증감을 바로 알 수 있어요.
2번 문제가 1번 문제의 업그레이드 버젼이기에, 2번문제를 분석하고 1번문제의 해설은 아래 Solution에 추가했어요
|f(t)-f(x)|를 구간 [0,x] 에서 적분한 함수가 g(x)이니
조금씩 x를 키워가며 넓이함수를 관찰하겠습니다.
이 행동의 핵심은 다음과 같습니다.
[0<x<1]일 때 x가 커짐에 따라 y=f(x) 기준선은 위로 올라가며, 넓이의 왼쪽 부분 A는 빨간 형광펜만큼 계속 증가함을 알 수 있습니다.
즉 g(x)는 [0<x<1]에서 증가합니다.
X=1을 넘어서는 순간 기준선 y=f(x)의 운동방향이 아래로 바뀌고, x가 진짜 엄청 미세하게 커짐에 따라 A부분의 넓이는 파란 형광펜만큼 줄고, B 부분의 넓이는 빨간 형관펜만큼 늘어납니다. * 파란 형광펜 부분을 dA, 빨간 형광펜 부분을 dB라 하겠습니다.
기준선이 아래로 이동한다고 할 때, 사진에서 더 움직여도 감소하는 넓이 dA가 증가하는 넓이 dB보다 크기에 총 넓이함수는 (1<x<1+ε) 에서 감소합니다. *(ε는 적당히 작은 양수)
즉 g(x)는 (1<x<1+ε) 에서 감소하며, X=1에서 넓이함수의 증감이 바뀌므로 x=1에서 극대입니다.
이후 언제가 넓이함수의 증감이 다시 바뀌는 지점일까요?
dA>dB일땐 쭉 감소하다가 dA = dB를 거쳐 dA<dB이면 증가하겠군요.
즉 넓이함수의 극소는 dA = dB 일 때겠군요. +(사족)이로 대강의 g(x)의 개형도 그려낼 수 있습니다
(TMI) 실제로 그린 g(x)의 개형 (A의 자취)
dA와 dB는 x좌표 차이가 가로인 미세한 직사각형인데, 세로는 함께 같은 속도로 움직이니 같다고 하면 x좌표차이가 같은 부분이겠군요.
X절편 차가 동일함 + 함수가 x=1 선대칭임을 이용하면 극소가 x=4/3에서 생김을 알 수 있고 적분을 계산하면 답을 얻을 수 있습니다.
Solution) 02번 문제
Solution) 01번 문제
(저는 1번 문제의 함수 표현 S(a,t)가 마음에 들더군요..! 한 변수 고정하는 부분을 언급하지 않았어도 두개 이상의 변수 *특히 기하(평면벡터)등에서 스스로 한 변수를 고정하고 다른 하나를 움직여 보면 좋아요! )
긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다! :D
정성이 들어간 글인 만큼 여러 번 연습하면 꼭 본인의 것으로 만들 수 있을거에요
0 XDK (+28,000)
-
17,000
-
5,000
-
5,000
-
1,000
-
내일할거(클릭금지) 25
과 동기에게 고백공격 반수생으로 만들어버리자!
-
아직 살아있네요 13
이를 표출하는 것은 문제임을 앎에도, 솔직히 화가 굉장히 많이 났었습니다 오늘?...
-
야뎊 아닙니다
-
왈왈
-
Qbank Black label임뇨? 이거 시스템살때 있었는데 교재구매 안뜨는거고니 이건가보네
-
제가 학교 통학하면서 보려고하는데 책은 너무 걸리적거리고 파일로 보려고요 근데...
-
밀양 성폭행범 옹호했던 현직 경찰 재조명… 백종원 먹방도 논란 1
‘밀양 여중생 집단 성폭행’ 주동자가 백종원이 방문해 유명해진 경북 청도군 한...
-
뭘 해야할지 모르겠음... 평소 하던 거 해도 되려나...요?
-
지금 수1,수2 뉴런 학습하고 있습니다. 3모에 수학 1은 다맞았고, 수2가...
-
지방의대, 미달 우려에도 '수능 최저' 고수…"의대 가치 지켜야" 1
의과대학 증원 절차가 마무리되고 본격적인 ‘입시의 시간’이 시작됐다. 의대 입학의...
-
현강자료 뭐줌?
-
'의대 증원' N수생 역대 최다…수능 첫 모의평가부터 불수능? 1
(서울=뉴스1) 이유진 기자 = 2025학년도 대학수학능력시험(수능) 출제 경향을...
-
어제부터 목요일까지 ㅇㅇ 군수생 화이팅입니다!!
-
주혜연 해석공식 기출구문까지는 끝내고 들어가는게 맞을까요? 일단 해석공식...
-
Ladies and Gentlemen, My name is Ryan from...
-
안녕하세요. 장시인입니다. 말씀드렸던 대로, 최종 등급 CUT과 통계 자료들을...
-
수학 백분위 95~94 정도 나온다는 가정하에 나머지 과목 어느정도 맞춰야지...
-
재수생 님들아 1
6모는 꼭 현장가시는걸 추천해요 전 검고라 작년에 69모 집모쳤는데 수능 개망하고...
-
학교가기싫다 6
ㅠㅠ
-
ㅡ동물원 원숭이된기분
-
내일이 벌써 6평이네.. 오늘은 실모를 왕창 벅벅
-
ENFJ 특 0
단 1명만 있어도 침체된 분위기를 확 바꿔버릴 수 있음
-
가끔 아침에 1
머리도 무겁고 목도 뻐근하고 너무 집중도 안 돼서 국어가 하나도 안 풀리는데 이럴...
-
고딩때 특이하게 7
가장 친했던 쌤이 사서쌤 근데 책은 잘 안 읽은... 도서관 봉사하다가 친해짐
-
수1,수2 합쳐서 몇문제정도 푸셨나요?? 20문제면 적당한건가.. 미적은 아직 n제...
-
생각보다 선생은 매해 그렇게 찾아오는 n수생들 보기때문에 별 관심을 안가집니다 뭐...
-
3모 96 4모 80 최근에 6모대비 실모 치니 2등급 까지 떨어짐 가끔씩 개념이...
-
어카지 어카지 어카지
-
수학 공부할때 0
풀릴때까지 몇분이고 잡고잇늠게맞나요 머리쓰는거 싫어서 다 넘겻더니 시간걸릴법한...
-
6모조이고
-
분위기가 살벌해지네요 다들 너무 싸우지마셔요..ㅠ 항상 여러분 멘탈이 제일 중요하니까요..!
-
얼버기 5
연 등장
-
현역은 6모 3
그냥 학평이랑 똑같이 치나요? 자기 반에서? 급식 나오나?
-
노베이스에서 시작해서 6모는 해보자 해서 모교로 했는데 현역들 사이에 껴줘가주고.....
-
아님 기시감 덜한 옛날 기출 풀어보는게 나을려나
-
11시: 가장 활동이 활발한 시간. 답변 받기도 좋지만 대신 그만큼 자주 올라오는...
-
춘향전 달천몽유록 정을선전 늙은 소의 탄식 이중에 한개 안나오면 삼수함
-
옯창의 장점 0
매일 출첵할때 날짜를 인지하는 습관을 갖게 됨
-
냠냠
-
제발 빨리 급함 ㅠ
-
약점공략특강 오면 빨더텅사서 공부해야겠다
-
아닌가 이게 낫나
-
올해도 과연 2
미적 28번이 30번 역할을 대체할지... 문학에서 변별하는 기조를 유지할지...
-
아이고 여러분 12
어제 커피를 그렇게 잡수시고 또 꿀잠자다가 머리에 보온병이 날라와서 깼네요 다들 굳모닝입니다
-
확통 못하는데 추천좀
-
몸이 아프긴한데 또 못갈 수준은 아님 하.........
-
윽 지옥첱...
-
미적 허수 2
모고 보면 항상 50언저린데 기출문제만 벅벅 푸는 게 답인가요?ㅜ
-
6모 맞다이로 들어와...
드디어 적용탄이 나왔군요 가장 기대하고있었습니다 진짜 이칼럼은 제 수학의 시각을 넓혀줬으니 잘보겠습니다
저야말로 영광이네요! 궁금하신 점 있으시면 편하게 물어봐주세요 :)
선댓후감
미소변화율 항상 재밌게 보고 있습니다
감사드려요 선생님 :)
이거보고 주머니에서 공이나 뽑기로했다
왜 평면으로 수선을 안내리고 그런걸
동경일공의 공 아닌가용
역시 수학고수
사설 실모나 엔제에서 많이 써먹었는데 많은 분들이 얻어가셨으면 좋겠네요~^^
Sec(x)
짖짜 뇌를 꺼내서 저한테 이식하고싶어요
대 약 연
약선생님 좋은 글 감사합니당
저야말로 도움이 되었다면 기쁘네요
우와!
대 대 대
한의대 걸어두시나요
약연님 시.반(국가권력엔수생어쩌고)님이 이거좀 물어봐달랍니다
강의는 마지막에 나온다고 전해달라네요
https://youtu.be/9EOzb5wCSN4?si=3B1ZDrTpoDF_flU-
g'(x)를 수식으로 표현할 때, 미소변화량을 세로가 적당히 작은 직사각형으로 근사하였다고 생각하면 가로 × 세로인데, 도함수의 정의가 접선의 기울기이고, 접선의 기울기를 삼각비로 표현하면 아래 그림처럼 델타h/델타x로 표현할 수 있고, 델타S = 길이 × 델타높이 인데 양변을 델타x로 나눠 표현하면
넓이의 미소변화량 = 가로길이 × 도함수가 되는군요!
단! 이 경우는 기준선의 운동방향이 축과 평행하게 고정되어 있어 미세한 직사각형으로 근사, 위와 같이 도함수를 직관적으로 뽑아낼 수 있는것이지, 미소변화율 칼럼 1편의 극좌표에서의 근사에선 사용하기 곤란하군요..
헉 이걸 이제보다니..
미소변화율 3도 잘 보고 갑니다..ㅎㅎ
저야말로 도움이 되었다면 기뻐요
영광이에요